2018届江苏省四市高三数学模拟试卷及答案
数学考试其实并不难，只要多做一些数学模拟试卷就可以把数学成绩提上去，以下是百分网小编为你整理的2018届江苏省四市高三数学模拟试卷，希望能帮到你。
2018届江苏省四市高三数学模拟试卷题目
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.已知集合 ， ，则集合 中元素的个数为 ▲ .
2.设 ， ( 为虚数单位)，则 的值为 ▲ .
3.在平面直角坐标系 中，双曲线 的离心率是 ▲ .
4.现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.
将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是 ▲ .
5.如图是一个算法的流程图，则输出的 的值为 ▲ .
6.已知一组数据 ， ， ， ， ，则该组数据的方差是 ▲ .
7.已知实数 ， 满足 则 的取值范围是 ▲ .
8.若函数 的图象过点 ，
则函数 在 上的单调减区间是 ▲ .
9.在公比为 且各项均为正数的等比数列 中， 为 的前 项和.若 ，且 ，则 的值为 ▲ .
10.如图，在正三棱柱 中，已知 ，点 在棱 上，则三棱锥 的体积为 ▲ .
11.如图，已知正方形 的边长为 ， 平行于 轴，顶点 ， 和 分别在函数 ， 和 ( )的图象上，则实数 的值为 ▲ .
12.已知对于任意的 ，都有 ，则实数 的取值范围是 ▲ .
13.在平面直角坐标系 中，圆 .若圆 存在以 为中点的弦 ，且 ，则实数 的取值范围是 ▲ .
14.已知 三个内角 ， ， 的对应边分别为 ， ， ，且 ， .当 取得最大值时， 的值为 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤.
15.(本小题满分14分)
如图，在 中，已知点 在边 上， ， ， ， .
(1)求 的值;
(2)求 的长.
16.(本小题满分14分)
如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，点 在棱 上(异于点 ， )，平面 与棱 交于点 .
(1)求证： ;
(2)若平面 平面 ，求证： .
17.(本小题满分14分)
如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，过右焦点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点(点 在 轴上方).
(1)若 ，求直线 的方程;
(2)设直线 ， 的斜率分别为 ， .是否存在常数 ，使得 ?若存在，求出 的值;若不存在，请说明理由.
18.(本小题满分16分)
某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆 的圆心与矩形 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切( 为上切点)，与左右两边相交( ， 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为1m，且 .设 ，透光区域的面积为 .
(1)求 关于 的函数关系式，并求出定义域;
(2)根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值
越大越好.当该比值最大时，求边 的长度.
19.(本小题满分16分)
已知两个无穷数列 和 的前 项和分别为 ， ， ， ，对任意的 ，都有 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)若 为等差数列，对任意的 ，都有 .证明： ;
(3)若 为等比数列， ， ，求满足 的 值.
20.(本小题满分16分)
已知函数 ， .
(1)当 时，求函数 的单调增区间;
(2)设函数 ， .若函数 的最小值是 ，
求 的值;
(3)若函数 ， 的定义域都是 ，对于函数 的图象上的任意一点 ，在函数 的图象上都存在一点 ，使得 ，其中 是自然对数的底数， 为坐标原点.求 的取值范围.
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数学Ⅱ(附加题)
21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)
如图，圆 的弦 ， 交于点 ，且 为弧 的中点，点 在弧 上.若 ，求 的度数.
B.[选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵 ，若 ，求矩阵 的特征值.
C.[选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标系中，已知点 ，点 在直线 上.当线段 最短时，求点 的极坐标.
D.[选修45：不等式选讲](本小题满分10分)
已知 ， ， 为正实数，且 .求证： .
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
在平面直角坐标系 中，点 ，直线 与动直线 的交点为 ，线段 的中垂线与动直线 的交点为 .
(1)求动点 的轨迹 的方程;
(2)过动点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ， ，求证： 的大小为定值.
23.(本小题满分10分)
已知集合 ，对于集合 的两个非空子集 ， ，若 ，则称 为集合 的一组“互斥子集”.记集合 的所有“互斥子集”的组数为 (视 与 为同一组“互斥子集”).
(1)写出 ， ， 的.值;
2018届江苏省四市高三数学模拟试卷答案
一、填空题
1. 2.1 3. 4. 5. 6. (或 )
7. (或 ) 8. (或 ) 9. 10.
11. 12. (或 ) 13. (或 ) 14.
注意：填空题第6、7、8、12、13均提供两种书写方法，都算正确，不要扣分。其他写法均判为0分。
二、解答题
15.(1)在 中， ， ，
所以 .……………………………………2分
同理可得， . …………………………………………………4分
所以
………………………………6分
.……………………………………………8分
(2)在 中，由正弦定理得， .……10分
又 ，所以 . ………………………………………12分
在 中，由余弦定理得，
. ………………………………14分
注意：第15(1)题时，严格按照逻辑段给分，譬如
要先代入公式，再代入数字运算，不写公式扣1分。15(2)要先把正弦定理和余弦定理公式写出来，再代入数字运算，不写公式扣1分。
16.(1)因为 是矩形，所以 .…………………………………………2分
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .…………………………………………………………4分
又因为 平面 ，平面 平面 ，
所以 .…………………………………………………………………6分
(2)因为 是矩形，所以 . ………………………………………8分
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 . …………………………………10分
又 平面 ，所以 . ………………………………………12分
又由(1)知 ，所以 . ……………………………………14分
注意：16(1)严格按照逻辑段给分，使用线面平行判定定理与性质定理时，缺少任何一个条件，该逻辑段分数全部扣除。16(2)使用面面垂直性质定理时，缺少任何一个条件，该逻辑段分数全部扣除;证明线线垂直时，只能使用“在两条平行线中，一条垂直于已知直线，则另一条也垂直于该直线”，使用其他方法，该逻辑段分数均扣除。这道题考查知识点较为冷门，绝不要姑息迁就，给学生提个醒。
17.(1)因为 ， ，所以 ，所以 的坐标为 ，……1分
设 ， ，直线 的方程为 ，
代入椭圆方程，得 ，
则 ， . …………………………4分
若 ，则 ，
解得 ，故直线 的方程为 .……………………6分
(2)由(1)知， ， ，
所以 ，…………………………………………8分
所以 ………………………………………12分
，
故存在常数 ，使得 .…………………………………………14分
注意：第17(1)中设直线 的方程为 ，利用 ，技巧性较高，常规的设法，要对照给分。第17(2)中，没有利用 ，直接代入 ，运算结果正确也可以。
18.(1)过点 作 于点 ，则 ，
所以 ，
.……………………………2分
所以
，………………………………6分
因为 ，所以 ，所以定义域为 .……………………8分
(2)矩形窗面的面积为 .
则透光区域与矩形窗面的面积比值为 .…10分
设 ， .
则
，………………………………………………12分
因为 ，所以 ，所以 ，故 ，
所以函数 在 上单调减.
所以当 时， 有最大值 ，此时 (m). …14分
答：(1) 关于 的函数关系式为 ，定义域为 ;
(2)透光区域与矩形窗面的面积比值最大时， 的长度为1m.………16分
注意：18(1)中，没有求出定义域为 ，或者求解错误，扣2分。18题两个小题中，没有明确给出答案，各扣1分。
19.(1)由 ，得 ，
即 ，所以 . ……………………………2分
由 ， ，可知 .
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列.
故 的通项公式为 .………………………………………………4分
(2)证法一：设数列 的公差为 ，则 ，
由(1)知， .
因为 ，所以 ，即 恒成立，
所以 即 …………………………………………………6分
又由 ，得 ，
所以
.
所以 ，得证. …………………………………………………………8分
证法二：设 的公差为 ，假设存在自然数 ，使得 ，
则 ，即 ，
因为 ，所以 .……………………………………………………6分
所以 ，
因为 ，所以存在 ，当 时， 恒成立.
这与“对任意的 ，都有 ”矛盾!
所以 ，得证. …………………………………………………………8分
(3)由(1)知， .因为 为等比数列，且 ， ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列.
所以 ， .…………………………………………………10分
则 ，
因为 ，所以 ，所以 .…………………12分
而 ，所以 ，即 (*).
当 ， 时，(*)式成立;………………………………………………14分
当 时，设 ，
则 ，
所以 .
故满足条件的 的值为 和 .………………………………………………16分
20.(1)当 时， ， .……………………2分
因为 在 上单调增，且 ，
所以当 时， ;当 时， .
所以函数 的单调增区间是 .……………………………………4分
(2) ，则 ，令 得 ，
当 时， ，函数 在 上单调减;
当 时， ，函数 在 上单调增.
所以 .………………………………………6分
①当 ，即 时，
函数 的最小值 ，
即 ，解得 或 (舍)，所以 ;………8分
②当 ，即 时，
函数 的最小值 ，解得 (舍).
综上所述， 的值为 .………………………………………………………10分
(3)由题意知， ， .
考虑函数 ，因为 在 上恒成立，
所以函数 在 上单调增，故 .…………………12分
所以 ，即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立.
设 ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调减，所以 . …………………………14分
设 ，
则 在 上恒成立，
所以 在 上单调增，所以 .
综上所述， 的取值范围为 . ………………………………………16分
注意：20(3)解法较多，各种方法按照3个得分点，每个2分，对应给分。
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数学(附加题)参考答案与评分标准
21.A.连结 ， .
因为 为弧 的中点，所以 .
而 ，
所以 ，
即 . ………………………5分
又因为 ，
所以 ，
故 .……………………………10分
B.因为 ，
所以 解得 所以 .……………………………5分
所以矩阵 的特征多项式为 ，
令 ，解得矩阵 的特征值为 ， .………………………10分
C.以极点为原点，极轴为 轴正半轴，建立平面直角坐标系，
则点 的直角坐标为 ，直线 的直角坐标方程为 .…………4分
最短时，点 为直线 与直线 的交点，
解 得 所以点 的直角坐标为 .……………………8分
所以点 的极坐标为 .……………………………………………………10分
D.因为 ，所以 ，…………………………5分
所以 ，
当且仅当 时，取“ ”.……………………………………………10分
22.(1)因为直线 与 垂直，所以 为点 到直线 的距离.
连结 ，因为 为线段 的中垂线与直线 的交点，所以 .
所以点 的轨迹是抛物线.……………………………………………………2分
焦点为 ，准线为 .
所以曲线 的方程为 . ………………………………………………5分
(2)由题意，过点 的切线斜率存在，设切线方程为 ，
联立 得 ，
所以 ，即 (*)，……………………8分
因为 ，所以方程(*)存在两个不等实根，设为 ，
因为 ，所以 ，为定值. ……………………………10分
23.(1) ， ，…………………………………………………………2分
. ……………………………………………………………………4分
(2)解法一：设集合 中有k个元素， .
则与集合 互斥的非空子集有 个.…………………………………6分
于是 .…………………8分
因为 ，
，
所以 .………………10分
解法二：任意一个元素只能在集合 ， ， 之一中，
则这 个元素在集合 ， ， 中，共有 种;…………………………6分
其中 为空集的种数为 ， 为空集的种数为 ，
所以 ， 均为非空子集的种数为 ，………………………8分
又 与 为同一组“互斥子集”，
所以 .………………………………………………10分
注意：23(1) ， ，每个1分; ，给2分，均不需要写出过程。
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