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江苏省无锡市高考数学模拟试卷及答案

时间:2021-12-04 15:34:30 高考备考 我要投稿

2017江苏省无锡市高考数学模拟试卷及答案

  数学一直是困惑很多人的难题,只有通过多做数学模拟试卷来提升自己,以下是百分网小编为你整理的2017江苏省无锡市高考数学模拟试卷,希望能帮到你。

2017江苏省无锡市高考数学模拟试卷及答案

  2017江苏省无锡市高考数学模拟试卷题目

  一.填空题:本大題共14小败,每小題5分,共70分.不需要写出解答过程

  1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},M={x|x2﹣6x+5≤0,x∈Z},则∁UM=  .

  2.若复数z满足z+i= ,其中i为虚数单位,则|z|=  .

  3.函数f(x)= 的定义域为  .

  4.如图是给出的一种算法,则该算法输出的结果是

  5.某高级中学共有900名学生,现用分层抽样的方法从该校学 生中抽取1个容量为45的样本,其中高一年级抽20人,高三年级抽10人,则该校高二年级学生人数为  .

  6.已知正四棱锥的底面边长是2,侧棱长是 ,则该正四棱锥的体积为  .

  7.从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数,则这两个数的和为3的倍数的槪率为  .

  8.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线 ﹣ =l的右焦点,则双曲线的离心率为  .

  9.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3,S9,S6成等差数列.且a2+a5=4,则a8的值为  .

  10.在平面直角坐标系xOy中,过点M(1,0)的直线l与圆x2+y2=5交于A,B两点,其中A点在第一象限,且 =2 ,则直线l的方程为  .

  11.在△ABC中,已知AB=1,AC=2,∠A=60°,若点P满足 = + ,且 • =1,则实数λ的值为  .

  12.已知sinα=3sin(α+ ),则tan(α+ )=  .

  13.若函数f(x)= ,则函数y=|f(x)|﹣ 的零点个数为  .

  14.若正数x,y满足15x﹣y=22,则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为  .

  二.解答题:本大题共6小题,共计90分

  15.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边.若acosB=3,bcosA=l,且A﹣B=

  (1)求边c的长;

  (2)求角B的大小.

  16.如图,在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,E是棱AB上一点,且OE∥平面BCC1B1

  (1)求证:E是AB中点;

  (2)若AC1⊥A1B,求证:AC1⊥BC.

  17.某单位将举办庆典活动,要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图),设计要求彩门的面积为S (单位:m2)•高为h(单位:m)(S,h为常数),彩门的下底BC固定在广场地面上,上底和两腰由不锈钢支架构成,设腰和下底的夹角为α,不锈钢支架的长度和记为l.

  (1)请将l表示成关于α的函数l=f(α);

  (2)问当α为何值时l最小?并求最小值.

  18.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 + =l (a>b>0)的焦距为2,离心率为 ,椭圆的右顶点为A.

  (1)求该椭圆的方程:

  (2)过点D( ,﹣ )作直线PQ交椭圆于两个不同点P,Q,求证:直线AP,AQ的

  斜率之和为定值.

  19.己知函数f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a (a为正实数,且为常数)

  (1)若f(x)在(0,+∞)上单调递增,求a的取值范围;

  (2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.

  20.己知n为正整数,数列{an}满足an>0,4(n+1)an2﹣nan+12=0,设数列{bn}满足bn=

  (1)求证:数列{ }为等比数列;

  (2)若数列{bn}是等差数列,求实数t的值:

  (3)若数列{bn}是等差数列,前n项和为Sn,对任意的n∈N*,均存在m∈N*,使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立,求满足条件的所有整数a1的值.

  四.选做题本题包括A,B,C,D四个小题,请选做其中两题,若多做,则按作答的前两题评分.A.[选修4一1:几何证明选讲]

  21.如图,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3,过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,AD分别与直线l、圆交于点D、E.求∠DAC的度数与线段AE的长.

  [选修4-2:矩阵与变换]

  22.已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量 =[ ],并且矩阵M对应的变换将点(﹣1,2)变换成(﹣2,4).

  (1)求矩阵M;

  (2)求矩阵M的另一个特征值.

  [选修4-4:坐标系与参数方程]

  23.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2, .

  (1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;

  (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.

  [选修4-5:不等式选讲]

  24.已知a,b,c为正数,且a+b+c=3,求 + + 的最大值.

  四.必做题:每小题0分,共计20分

  25.如图,已知正四棱锥P﹣ABCD中,PA=AB=2,点M,N分别在PA,BD上,且 = = .

  (1)求异面直线MN与PC所成角的大小;

  (2)求二面角N﹣PC﹣B的余弦值.

  26.设|θ|< ,n为正整数,数列{an}的通项公式an=sin tannθ,其前n项和为Sn

  (1)求证:当n为偶函数时,an=0;当n为奇函数时,an=(﹣1) tannθ;

  (2)求证:对任何正整数n,S2n= sin2θ•[1+(﹣1)n+1tan2nθ].

  2017江苏省无锡市高考数学模拟试卷答案

  一.填空题:本大題共14小败,每小題5分,共70分.不需要写出解答过程

  1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},M={x|x2﹣6x+5≤0,x∈Z},则∁UM= {6,7} .

  【考点】补集及其运算.

  【分析】解不等式化简集合M,根据补集的定义写出运算结果即可.

  【解答】解:集合U={1,2,3,4,5,6,7},

  M={x|x2﹣6x+5≤0,x∈Z}={x|1≤x≤5,x∈Z}={1,2,3,4,5},

  则∁UM={6,7}.

  故答案为:{6,7}.

  2.若复数z满足z+i= ,其中i为虚数单位,则|z|=   .

  【考点】复数代数形式的乘除运算.

  【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z,再由复数求模公式计算得答案.

  【解答】解:由z+i= ,

  得 = ,

  则|z|= .

  故答案为: .

  3.函数f(x)= 的定义域为 {x|x> 且x≠1} .

  【考点】函数的定义域及其求法.

  【分析】根据对数函数的性质以及分母不是0,得到关于x的不等式组,解出即可.

  【解答】解:由题意得: ,

  解得:x> 且x≠1,

  故函数的定义域是{x|x> 且x≠1},

  故答案为:{x|x> 且x≠1}.

  4.如图是给出的`一种算法,则该算法输出的结果是 24

  【考点】伪代码.

  【分析】模拟程序代码的运行过程,可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t的值,

  由于循环变量的初值为2,终值为4,步长为1,故循环体运行只有3次,由此得到答案.

  【解答】解:当i=2时,满足循环条件,执行循环

  t=1×2=2,i=3;

  当i=3时,满足循环条件,执行循环

  t=2×3=6,i=4;

  当i=4时,满足循环条件,执行循环

  t=6×4=24,i=5;

  当i=5时,不满足循环条件,退出循环,输出t=24.

  故答案为:24.

  5.某高级中学共有900名学生,现用分层抽样的方法从该校学 生中抽取1个容量为45的样本,其中高一年级抽20人,高三年级抽10人,则该校高二年级学生人数为 300 .

  【考点】分层抽样方法.

  【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本,根据高一年级抽20人,高三年级抽10人,得到高二年级要抽取的人数,根据该高级中学共有900名学生,算出高二年级学生人数.

  【解答】解:∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本,

  其中高一年级抽20人,高三年级抽10人,

  ∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15,

  ∵高级中学共有900名学生,

  ∴每个个体被抽到的概率是 =

  ∴该校高二年级学生人数为 =300,

  故答案为:300.

  6.已知正四棱锥的底面边长是2,侧棱长是 ,则该正四棱锥的体积为   .

  【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.

  【分析】正四棱锥P﹣ABCD中,AB=2,PA= ,设正四棱锥的高为PO,连结AO,求出PO,由此能求出该正四棱锥的体积.

  【解答】解:如图,正四棱锥P﹣ABCD中,AB=2,PA= ,

  设正四棱锥的高为PO,连结AO,

  则AO= AC= .

  在直角三角形POA中,PO= = =1.

  所以VP﹣ABCD= •SABCD•PO= ×4×1= .

  故答案为: .

  7.从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数,则这两个数的和为3的倍数的槪率为   .

  【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.

  【分析】先求出基本事件总数n= =6,再利用列举法求出这两个数的和为3的倍数包含的基本事件个数,由此能求出这两个数的和为3的倍数的槪率.

  【解答】解:从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数,

  基本事件总数n= =6,

  这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有:(1,2),(2,4),共2个,

  ∴这两个数的和为3的倍数的槪率p= .

  故答案为: .

  8.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线 ﹣ =l的右焦点,则双曲线的离心率为 2 .

  【考点】双曲线的简单性质.

  【分析】求得抛物线的焦点坐标,可得c=2,由双曲线的方程可得a=1,由离心率公式可得所求值.

  【解答】解:抛物线y2=8x的焦点为(2,0),

  则双曲线 ﹣ =l的右焦点为(2,0),

  即有c= =2,

  不妨设a=1,

  可得双曲线的离心率为e= =2.

  故答案为:2.

  9.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3,S9,S6成等差数列.且a2+a5=4,则a8的值为 2 .

  【考点】等比数列的通项公式.

  【分析】利用等比数列的前n项和公式和通项公式列出方程组,求出 ,由此能求出a8的值.

  【解答】解:∵等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3,S9,S6成等差数列.且a2+a5=4,

  ∴ ,

  解得 ,

  ∴a8= =(a1q)(q3)2=8× =2.

  故答案为:2.

  10.在平面直角坐标系xOy中,过点M(1,0)的直线l与圆x2+y2=5交于A,B两点,其中A点在第一象限,且 =2 ,则直线l的方程为 x﹣y﹣1=0 .

  【考点】直线与圆的位置关系.

  【分析】由题意,设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立,利用韦达定理,结合向量知识,即可得出结论.

  【解答】解:由题意,设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立,可得(m2+1)y2+2my﹣4=0,

  设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1=﹣2y2,y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣

  联立解得m=1,∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0,

  故答案为:x﹣y﹣1=0.

  11.在△ABC中,已知AB=1,AC=2,∠A=60°,若点P满足 = + ,且 • =1,则实数λ的值为 ﹣ 或1 .

  【考点】平面向量数量积的运算.

  【分析】根据题意,利用平面向量的线性运算,把 、 用 、 与λ表示出来,再求 • 即可.

  【解答】解:△ABC中,AB=1,AC=2,∠A=60°,点P满足 = + ,

  ∴ ﹣ =λ ,

  ∴ =λ ;

  又 = ﹣ =( +λ )﹣ = +(λ﹣1) ,

  ∴ • =λ •[ +(λ﹣1) ]

  =λ • +λ(λ﹣1)

  =λ×2×1×cos60°+λ(λ﹣1)×22=1,

  整理得4λ2﹣3λ﹣1=0,

  解得λ=﹣ 或λ=1,

  ∴实数λ的值为﹣ 或1.

  故答案为:﹣ 或1.

  12.已知sinα=3sin(α+ ),则tan(α+ )= 2 ﹣4 .

  【考点】两角和与差的正切函数;两角和与差的正弦函数.

  【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tanα、tan 的值,可得tan(α+ )的值.

  【解答】解:sinα=3sin(α+ )=3sinαcos +3cosαsin = sinα+ cosα,∴tanα= .

  又tan =tan( ﹣ )= = =2﹣ ,

  ∴tan(α+ )= = = =﹣ =2 ﹣4,

  故答案为:2 ﹣4.

  13.若函数f(x)= ,则函数y=|f(x)|﹣ 的零点个数为 4 .

  【考点】根的存在性及根的个数判断.

  【分析】利用分段函数,对x≥1,通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数,当x<1时,利用数形结合求解函数的零点个数即可.

  【解答】解:当x≥1时, = ,即lnx= ,

  令g(x)=lnx﹣ ,x≥1时函数是连续函数,

  g(1)=﹣ <0,g(2)=ln2﹣ =ln >0,

  g(4)=ln4﹣2<0,由函数的零点判定定理可知g(x)=lnx﹣ ,有2个零点.

  (结合函数y= 与y= 可知函数的图象由2个交点.)

  当x<1时,y= ,函数的图象与y= 的图象如图,考查两个函数由2个交点,

  综上函数y=|f(x)|﹣ 的零点个数为:4个.

  故答案为:4.

  14.若正数x,y满足15x﹣y=22,则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为 1 .

  【考点】函数的最值及其几何意义.

  【分析】由题意可得x> ,y>0,又x3+y3﹣x2﹣y2=(x3﹣x2)+(y3﹣y2),求出y3﹣y2≥﹣ y,当且仅当y= 时取得等号,设f(x)=x3﹣x2,求出导数和单调区间、极值和最值,即可得到所求最小值.

  【解答】解:由正数x,y满足15x﹣y=22,可得y=15x﹣22>0,则x> ,y>0,

  又x3+y3﹣x2﹣y2=(x3﹣x2)+(y3﹣y2),

  其中y3﹣y2+ y=y(y2﹣y+ )=y(y﹣ )2≥0,

  即y3﹣y2≥﹣ y,

  当且仅当y= 时取得等号,

  设f(x)=x3﹣x2,f(x)的导数为f′(x)=3x2﹣2x=x(3x﹣2),

  当x= 时,f(x)的导数为 ×( ﹣2)= ,

  可得f(x)在x= 处的切线方程为y= x﹣ .

  由x3﹣x2≥ x﹣ ⇔(x﹣ )2(x+2)≥0,

  当x= 时,取得等号.

  则x3+y3﹣x2﹣y2=(x3﹣x2)+(y3﹣y2)≥ x﹣ ﹣ y≥ ﹣ =1.

  当且仅当x= ,y= 时,取得最小值1.

  故答案为:1.

  二.解答题:本大题共6小题,共计90分

  15.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边.若acosB=3,bcosA=l,且A﹣B=

  (1)求边c的长;

  (2)求角B的大小.

  【考点】余弦定理;正弦定理.

  【分析】(1)由acosB=3,bcosA=l,利用余弦定理化为:a2+c2﹣b2=6c,b2+c2﹣a2=2c.相加即可得出c.

  (2)由(1)可得:a2﹣b2=8.由正弦定理可得: = = ,又A﹣B= ,可得A=B+ ,C= ,可得sinC=sin .代入可得 ﹣16sin2B= ,化简即可得出.

  【解答】解:(1)∵acosB=3,bcosA=l,∴a× =3,b× =1,

  化为:a2+c2﹣b2=6c,b2+c2﹣a2=2c.

  相加可得:2c2=8c,解得c=4.

  (2)由(1)可得:a2﹣b2=8.

  由正弦定理可得: = = ,

  又A﹣B= ,∴A=B+ ,C=π﹣(A+B)= ,可得sinC=sin .

  ∴a= ,b= .

  ∴ ﹣16sin2B= ,

  ∴1﹣ ﹣(1﹣cos2B)= ,即cos2B﹣ = ,

  ∴﹣2 ═ ,

  ∴ =0或 =1,B∈ .

  解得:B= .

  16.如图,在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,E是棱AB上一点,且OE∥平面BCC1B1

  (1)求证:E是AB中点;

  (2)若AC1⊥A1B,求证:AC1⊥BC.

  【考点】空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面平行的性质.

  【分析】(1)利用同一法,首先通过连接对角线得到中点,进一步利用中位线,得到线线平行,进一步利用线面平行的判定定理,得到结论.

  (2)利用菱形的对角线互相垂直,进一步利用线面垂直的判定定理,得到线面垂直,最后转化成线线垂直.

  【解答】证明:(1)连结BC1,取AB中点E′,

  ∵侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,

  ∴O为AC1的中点,

  ∵E′是AB的中点,

  ∴OE′∥BC1;

  ∵OE′⊄平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,

  ∴OE′∥平面BCC1B1,

  ∵OE∥平面BCC1B1,

  ∴E,E′重合,

  ∴E是AB中点;

  (2)∵侧面AA1C1C是菱形,

  ∴AC1⊥A1C,

  ∵AC1⊥A1B,A1C∩A1B=A1,A1C⊂平面A1BC,A1B⊂平面A1BC,

  ∴AC1⊥平面A1BC,

  ∵BC⊂平面A1BC,

  ∴AC1⊥BC.

  17.某单位将举办庆典活动,要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图),设计要求彩门的面积为S (单位:m2)•高为h(单位:m)(S,h为常数),彩门的下底BC固定在广场地面上,上底和两腰由不锈钢支架构成,设腰和下底的夹角为α,不锈钢支架的长度和记为l.

  (1)请将l表示成关于α的函数l=f(α);

  (2)问当α为何值时l最小?并求最小值.

  【考点】函数模型的选择与应用.

  【分析】(1)求出上底,即可将l表示成关于α的函数l=f(α);

  (2)求导数,取得函数的单调性,即可解决当α为何值时l最小?并求最小值.

  【解答】解:(1)设上底长为a,则S= ,

  ∴a= ﹣ ,

  ∴l= ﹣ + (0<α< );

  (2)l′=h ,

  ∴0<α< ,l′<0, <α< ,l′>0,

  ∴ 时,l取得最小值 m.

  18.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 + =l (a>b>0)的焦距为2,离心率为 ,椭圆的右顶点为A.

  (1)求该椭圆的方程:

  (2)过点D( ,﹣ )作直线PQ交椭圆于两个不同点P,Q,求证:直线AP,AQ的

  斜率之和为定值.

  【考点】直线与椭圆的位置关系.

  【分析】(1)由题意可知2c=2,c=1,离心率e= ,求得a=2,则b2=a2﹣c2=1,即可求得椭圆的方程:

  (2)则直线PQ的方程:y=k(x﹣ )﹣ ,代入椭圆方程,由韦达定理及直线的斜率公式,分别求得直线AP,AQ的斜率,即可证明直线AP,AQ的率之和为定值.

  【解答】解:(1)由题意可知:椭圆 + =l (a>b>0),焦点在x轴上,2c=1,c=1,

  椭圆的离心率e= = ,则a= ,b2=a2﹣c2=1,

  则椭圆的标准方程: ;

  (2)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),A( ,0),

  由题意PQ的方程:y=k(x﹣ )﹣ ,

  则 ,整理得:(2k2+1)x2﹣(4 k2+4 k)x+4k2+8k+2=0,

  由韦达定理可知:x1+x2= ,x1x2= ,

  则y1+y2=k(x1+x2)﹣2 k﹣2 = ,

  则kAP+kAQ= + = ,

  由y1x2+y2x1=[k(x1﹣ )﹣ ]x2+[k(x2﹣ )﹣ ]x1=2kx1x2﹣( k+ )(x1+x2)=﹣ ,

  kAP+kAQ= = =1,

  ∴直线AP,AQ的斜率之和为定值1.

  19.己知函数f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a (a为正实数,且为常数)

  (1)若f(x)在(0,+∞)上单调递增,求a的取值范围;

  (2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.

  【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

  【分析】(1)求出函数f(x)的导数,问题转化为a≤lnx+ +1在(0,+∞)恒成立,(a>0),令g(x)=lnx+ +1,(x>0),根据函数的单调性求出a的范围即可;

  (2)问题转化为(x﹣1)[(x+1)lnx﹣a]≥0恒成立,通过讨论x的范围,结合函数的单调性求出a的范围即可.

  【解答】解:(1)f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a,f′(x)=lnx+ +1﹣a,

  若f(x)在(0,+∞)上单调递增,

  则a≤lnx+ +1在(0,+∞)恒成立,(a>0),

  令g(x)=lnx+ +1,(x>0),

  g′(x)= ,

  令g′(x)>0,解得:x>1,令g′(x)<0,解得:0

  故g(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增,

  故g(x)min=g(1)=2,

  故0

  (2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恒成立,

  即(x﹣1)[(x+1)lnx﹣a]≥0恒成立,

  ①x≥1时,只需a≤(x+1)lnx恒成立,

  令m(x)=(x+1)lnx,(x≥1),

  则m′(x)=lnx+ +1,

  由(1)得:m′(x)≥2,

  故m(x)在[1,+∞)递增,m(x)≥m(1)=0,

  故a≤0,而a为正实数,故a≤0不合题意;

  ②0

  令n(x)=(x+1)lnx,(0

  则n′(x)=lnx+ +1,由(1)n′(x)在(0,1)递减,

  故n′(x)>n(1)=2,

  故n(x)在(0,1)递增,故n(x)

  故a≥0,而a为正实数,故a>0.

  20.己知n为正整数,数列{an}满足an>0,4(n+1)an2﹣nan+12=0,设数列{bn}满足bn=

  (1)求证:数列{ }为等比数列;

  (2)若数列{bn}是等差数列,求实数t的值:

  (3)若数列{bn}是等差数列,前n项和为Sn,对任意的n∈N*,均存在m∈N*,使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立,求满足条件的所有整数a1的值.

  【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.

  【分析】(1)数列{an}满足an>0,4(n+1)an2﹣nan+12=0,化为: =2× ,即可证明.

  (2)由(1)可得: = ,可得 =n •4n﹣1.数列{bn}满足bn= ,可得b1,b2,b3,利用数列{bn}是等差数列即可得出t.

  (3)根据(2)的结果分情况讨论t的值,化简8a12Sn﹣a14n2=16bm,即可得出a1.

  【解答】(1)证明:数列{an}满足an>0,4(n+1)an2﹣nan+12=0,

  ∴ = an+1,即 =2 ,

  ∴数列{ }是以a1为首项,以2为公比的等比数列.

  (2)解:由(1)可得: = ,∴ =n •4n﹣1.

  ∵bn= ,∴b1= ,b2= ,b3= ,

  ∵数列{bn}是等差数列,∴2× = + ,

  ∴ = + ,

  化为:16t=t2+48,解得t=12或4.

  (3)解:数列{bn}是等差数列,由(2)可得:t=12或4.

  ①t=12时,bn= = ,Sn= ,

  ∵对任意的n∈N*,均存在m∈N*,使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立,

  ∴ × ﹣a14n2=16× ,

  ∴ = ,n=1时,化为:﹣ = >0,无解,舍去.

  ②t=4时,bn= = ,Sn= ,

  对任意的n∈N*,均存在m∈N*,使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立,

  ∴ × ﹣a14n2=16× ,

  ∴n =4m,

  ∴a1= .∵a1为正整数,∴ = k,k∈N*.

  ∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2 ,n∈N*,m∈N*,且 = k,k∈N*}.

  四.选做题本题包括A,B,C,D四个小题,请选做其中两题,若多做,则按作答的前两题评分.A.[选修4一1:几何证明选讲]

  21.如图,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3,过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,AD分别与直线l、圆交于点D、E.求∠DAC的度数与线段AE的长.

  【考点】弦切角.

  【分析】连接OC,先证得三角形OBC是等边三角形,从而得到∠DCA=60°,再在直角三角形ACD中得到∠DAC的大小;考虑到直角三角形ABE中,利用角的关系即可求得边AE的长.

  【解答】解:如图,连接OC,因BC=OB=OC=3,

  因此∠CBO=60°,由于∠DCA=∠CBO,

  所以∠DCA=60°,又AD⊥DC得∠DAC=30°;

  又因为∠ACB=90°,

  得∠CAB=30°,那么∠EAB=60°,

  从而∠ABE=30°,

  于是 .

  [选修4-2:矩阵与变换]

  22.已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量 =[ ],并且矩阵M对应的变换将点(﹣1,2)变换成(﹣2,4).

  (1)求矩阵M;

  (2)求矩阵M的另一个特征值.

  【考点】特征值与特征向量的计算;几种特殊的矩阵变换.

  【分析】(1)先设矩阵A= ,这里a,b,c,d∈R,由二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点(﹣1,2)换成(﹣2,4).得到关于a,b,c,d的方程组,即可求得矩阵M;

  (2)由(1)知,矩阵M的特征多项式为f(λ)=(λ﹣6)(λ﹣4)﹣8=λ2﹣10λ+16,从而求得另一个特征值为2.

  【解答】解:(1)设矩阵A= ,这里a,b,c,d∈R,

  则 =8 = ,

  故 ,

  由于矩阵M对应的变换将点(﹣1,2)换成(﹣2,4).

  则 = ,

  故

  联立以上两方程组解得a=6,b=2,c=4,d=4,故M= .

  (2)由(1)知,矩阵M的特征多项式为f(λ)=(λ﹣6)(λ﹣4)﹣8=λ2﹣10λ+16,

  故矩阵M的另一个特征值为2.

  [选修4-4:坐标系与参数方程]

  23.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2, .

  (1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;

  (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.

  【考点】简单曲线的极坐标方程;相交弦所在直线的方程.

  【分析】(1)先利用三角函数的差角公式展开圆O2的极坐标方程的右式,再利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得圆O2的直角坐标方程及圆O1直角坐标方程.

  (2)先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程,再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可.

  【解答】解:(1)ρ=2⇒ρ2=4,所以x2+y2=4;因为 ,

  所以 ,所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0.

  (2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.

  化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1,即 .

  [选修4-5:不等式选讲]

  24.已知a,b,c为正数,且a+b+c=3,求 + + 的最大值.

  【考点】二维形式的柯西不等式.

  【分析】利用柯西不等式,结合a+b+c=3,即可求得 + + 的最大值.

  【解答】解:由柯西不等式可得

  ( + + )2≤[12+12+12][( )2+( )2+( )2]=3×12

  ∴ + + ≤3 ,当且仅当 = = 时取等号.

  ∴ + + 的最大值是6,

  故最大值为6.

  四.必做题:每小题0分,共计20分

  25.如图,已知正四棱锥P﹣ABCD中,PA=AB=2,点M,N分别在PA,BD上,且 = = .

  (1)求异面直线MN与PC所成角的大小;

  (2)求二面角N﹣PC﹣B的余弦值.

  【考点】二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角.

  【分析】(1)设AC与BD的交点为O,AB=PA=2.以点O为坐标原点, , , 方向分别是x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系O﹣xyz.利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角.

  (2)求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量,利用向量法能求出二面角N﹣PC﹣B的余弦值.

  【解答】解:(1)设AC与BD的交点为O,AB=PA=2.以点O为坐标原点,

  , , 方向分别是x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系O﹣xyz.

  则A(1,﹣1,0),B(1,1,0),C(﹣1,1,0),D(﹣1,﹣1,0),…

  设P(0,0,p),则 =(﹣1,1,p),又AP=2,

  ∴1+1+p2=4,∴p= ,

  ∵ = = =( ),

  =( ),

  ∴ =(﹣1,1,﹣ ), =(0, ,﹣ ),

  设异面直线MN与PC所成角为θ,

  则cosθ= = = .

  θ=30°,

  ∴异面直线MN与PC所成角为30°.

  (2) =(﹣1,1,﹣ ), =(1,1,﹣ ), =( ,﹣ ),

  设平面PBC的法向量 =(x,y,z),

  则 ,取z=1,得 =(0, ,1),

  设平面PNC的法向量 =(a,b,c),

  则 ,取c=1,得 =( ,2 ,1),

  设二面角N﹣PC﹣B的平面角为θ,

  则cosθ= = = .

  ∴二面角N﹣PC﹣B的余弦值为 .

  26.设|θ|< ,n为正整数,数列{an}的通项公式an=sin tannθ,其前n项和为Sn

  (1)求证:当n为偶函数时,an=0;当n为奇函数时,an=(﹣1) tannθ;

  (2)求证:对任何正整数n,S2n= sin2θ•[1+(﹣1)n+1tan2nθ].

  【考点】数列的求和.

  【分析】(1)利用sin = ,即可得出.

  (2)a2k﹣1+a2k=(﹣1) tannθ.利用等比数列的求和公式即可得出.

  【解答】证明:(1)an=sin tannθ,

  当n=2k(k∈N*)为偶数时,an=sinkπ•tannθ=0;

  当n=2k﹣1为奇函数时,an= •tannθ=(﹣1)k﹣1tannθ=(﹣1) tannθ.

  (2)a2k﹣1+a2k=(﹣1) tannθ.∴奇数项成等比数列,首项为tanθ,公比为﹣tan2θ.

  ∴S2n= = sin2θ•[1+(﹣1)n+1tan2nθ].

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