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初三数学因式分解法

时间:2021-05-27 09:56:28 初三 我要投稿

初三数学因式分解法

  因式分解是一种重要的恒等变形,作为一种数学思想方法,它有着十分广泛的运用。下面是小编为大家整理的初三数学因式分解法,希望大家喜欢。

初三数学因式分解法


  

  初三数学因式分解法 篇1

  许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用。初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等。把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样,现总结如下:

  1、提公因法

  如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

  例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)  解:x -2x -x=x(x -2x-1)

  2、应用公式法

  由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。

  例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解:a +4ab+4b =(a+2b)

  3、分组分解法

  要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)

  例3、分解因式m +5n-mn-5m 解:m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n)

  4、 十字相乘法

  对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)

  例4、分解因式7x2 -19x-6 分析: 1 -3 7 2

  2-21=-19

  解:7x2 -19x-6=(7x+2)(x-3)

  5、配方法

  对于那些不能利用公式法的.多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。

  例5、分解因式x2 +3x-40 解x2 +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5)

  6、拆、添项法

  可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。

  例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

  解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

  =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)

  7、换元法

  有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来。

  例7、分解因式2x2 - x -6x -x+2

  解:2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6

  令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2)

  8、求根法

  令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

  例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解:令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0

  通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

  9、图象法

  令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

  例9、因式分解x +2x -5x-6 解:令y= x +2x -5x-6

  作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

  10、主元法

  先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。

  例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)

  分析:此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列

  解:a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c)

  11、利用特殊值法

  将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。

  例11、分解因式x +9x +23x+15

  解:令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7

  注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值 则x +9x +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)

  12、待定系数法

  首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。

  例12、分解因式x -x -5x -6x-4

  分析:易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。

  解:设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以解得

  则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

  初三数学因式分解法 篇2

  多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用。

  1、运用公式法

  在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,

  例如:

  (1)a2-b2=(a+b)(a-b);

  (2)a2±2ab+b2=(a±b)2;

  (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);

  (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)。

  下面再补充几个常用的公式:

  (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;

  (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);

  (7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数;

  (8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1),其中n为偶数;

  (9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1),其中n为奇数。

  运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式。

  例1 分解因式:a3+b3+c3-3abc。

  本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)。

  分析 我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

  的正确性,现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)。

  这个公式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导。

  解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=[(a+b)3+c3]-3ab(a+b+c)

  =(a+b+c)[(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)。

  2、拆项、添项法

  因式分解是多项式乘法的逆运算。在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零。在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项。拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解。

  例2 分解因式:x3-9x+8。

  分析 本题解法很多,这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法,注意一下拆项、添项的目的与技巧。

  解法1 将常数项8拆成-1+9。

  原式=x3-9x-1+9

  =(x3-1)-9x+9

  =(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)

  =(x-1)(x2+x-8)。

  解法2 将一次项-9x拆成-x-8x。

  原式=x3-x-8x+8

  =(x3-x)+(-8x+8)

  =x(x+1)(x-1)-8(x-1)

  =(x-1)(x2+x-8)。

  解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3。

  原式=9x3-8x3-9x+8

  =(9x3-9x)+(-8x3+8)

  =9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)

  =(x-1)(x2+x-8)。

  解法4 添加两项-x2+x2。

  原式=x3-9x+8

  =x3-x2+x2-9x+8

  =x2(x-1)+(x-8)(x-1)

  =(x-1)(x2+x-8)。

  说明 由此题可以看出,用拆项、添项的方法分解因式时,要拆哪些项,添什么项并无一定之规,主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种。

  3、换元法

  换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰。 例3 分解因式:(x2+x+1)(x2+x+2)-12。

  分析 将原式展开,是关于x的四次多项式,分解因式较困难。我们不妨将x2+x看作一个整体,并用字母y来替代,于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了。

  解 设x2+x=y,则

  原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10

  =(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)

  =(x-1)(x+2)(x2+x+5)。

  说明 本题也可将x2+x+1看作一个整体,比如今x2+x+1=u,一样可以得到同样的结果,有兴趣的同学不妨试一试。

  4、双十字相乘法

  分解二次三项式时,我们常用十字相乘法。对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式。

  例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3。我们将上式按x降幂排列,并把y当作常数,于是上式可变形为

  2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),

  可以看作是关于x的二次三项式。

  对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为 (x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2; (x-3)(2x+1)=2x2-5x-3;

  (2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3。 这就是所谓的双十字相乘法。

  用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是:

  (1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列);

  (2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx。

  例4 分解因式:

  x2-3xy-10y2+x+9y-2 解:

  原式=(x-5y+2)(x+2y-1)

  在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,

  例如: (1)a2-b2=(a+b)(a-b);

  (2)a2±2ab+b2=(a±b)2;

  (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);

  (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)。

  下面再补充几个常用的公式:

  (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;

  (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);

  (7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数;

  (8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1),其中n为偶数;

  (9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1),其中n为奇数。

  在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,

  例如: (1)a2-b2=(a+b)(a-b);

  (2)a2±2ab+b2=(a±b)2;

  (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);

  (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)。

  下面再补充几个常用的公式:

  (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;

  (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);

  (7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数;

  (8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1),其中n为偶数;

  (9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1),其中n为奇数。

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