第一学期期中考试高二数学的试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.
1.已知命题 ，则 : .
2.已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 = .
3.已知 ， ， ， 为实数，且 .则 是 - - 的 条件.
( 充分而不必要、必要而不充分、充要 、 既不充分也不必要)
4. 有下列四个命题：(1)若 ，则 的逆命题;(2)全等三角形的面积相等的否命题;(3)若 ，则 有实根 的逆命题;(4)若 ，则 的逆否命题。 其中真命题的个数是_______.
5.若 是纯虚数，则 的值是 。
6.已知数列{an}的前n项和 ，则数列{an}成等比数列的充要条件是r= .
7.计算
8.函数 ， 的单调递增区间是 .
9.已知复数 满足 =2，则 的最大值为 .
10.已知函数 在 处有极大值，则 = 。
11. 右图是函数 的导函数 的图象，
给出下列命题：
① 是函数 的极值点;
② 是函数 的极小值点;
③ 在 处切线的斜率小于零;
④ 在区间 上单调递增.
则正确命题的序号是 .
12.观察下列等式： ,，根据上述规律，第五个等式为 ____________.
13.已知扇形的`圆心角为 (定值)，半径为 (定值)，分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为 ，则按图二作出的矩形面积的最大值为 .
14.若存在过点 的直线与曲线 和 都相切，则 等于 .
二、解答题
15.(本小题满分14分)
已知 为复数， 和 均为实数，其中 是虚数单位.
(Ⅰ)求复数 ;
(Ⅱ)若复数 在复平面上对应的点在第一象限，求实数 的取值范围.
16.(本小题满分14分)
已知 p： ，q： .
⑴ 若p是q充分不必要条件，求实数 的取值范围;
⑵ 若非p是非q的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
17.(本题满分15分) 已知二次函数 在 处取得极值，且在 点处的切线与直线 平行.
(1)求 的解析式;
(2)求函数 的单调递增区间.
18. (本题满分15分) 已知a、b(0，+)，且a+b=1,
求证：(1) ab (2) + (3) + . (5分+5分+5分)
19.(本小题满分16分)
两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧 上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在 的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.
(1)按下列要求建立函数关系式：
(i)设 (rad)，将 表示成 的函数;并写出函数的定义域. (5分)
(ii)设 (km)，将 表示成 的函数;并写出函数的定义域. (5分)
(2)请你选用(1)中的一个函数关系确定垃圾处理厂的位置，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小? (6分)
20.(本小题满分16分)
已知函数 的图象过点 ，且在点 处的切线与直线 垂直.
(1) 求实数 的值;(6分)
(2) 求 在 ( 为自然对数的底数)上的最大值;(10分)
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