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九年级上册数学期中考试试卷

时间:2021-06-20 13:32:23 期中考试 我要投稿

九年级上册数学期中考试试卷

  一、选择题(每题3分,共18分)

九年级上册数学期中考试试卷

  1.一元二次方程x2+px+q=0的两根为3、4,那么二次三项式x2+px+q可分解为(  )

  A. (x+3)(x﹣4) B. (x﹣3)(x+4) C. (x﹣3)(x﹣4) D. (x+3)(x+4)

  2.如果x:(x+y)=3:5,那么x:y=(  )

  A.   B.   C.   D.

  3.△ABC中,tanA=1,cosB= ,则△ABC的形状是(  )

  A. 等腰三角形 B. 直角三角形

  C. 等腰直角三角形 D. 锐角三角形

  4.小刚身高1.7m,测得他站立在阳光下的影长为0.85m,紧接着他把手臂竖直举起,测得影长为1.1m,那么小刚举起手臂超出头顶(  )

  A. 0.5 m B. 0.55 m C. 0.6 m D. 2.2 m

  5.某机械厂七月份生产零件50万个,第三季度生产零件196万个.设该厂八、九月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是(  )

  A. 50(1+x2)=196 B. 50+50(1+x2)=196

  C.  50+50(1+x)+50(1+x)2=196 D. 50+50(1+x)+50(1+2x)=196

  6.如图,边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起,连结BD并延长交EG于点T,交FG于点P,则GT=(  )

  A.   B. 2  C. 2 D. 1

  二、填空题(每题3分,共30分)

  7.一公园占地面积约为800000m2,若按比例尺1:2000缩小后,其面积约为      m2.

  8.设a,b是方程x2+x﹣2009=0的两个实数根,则a2+2a+b的值为      .

  9.若最简二次根式 与 是同类二次根式,则x=      .

  10.已知:如图,E(﹣4,2),F(﹣1,﹣1),以O为位似中心,按比例尺1:2,把△EFO缩小,则点E的对应点E′的坐标为      .

  11.关于x的一元二次方程(a﹣6)x2﹣8x+9=0有实根,则实数a的范围为      .

  12.无论x取任何实数,代数式 都有意义,则m的取值范围为      .

  13.如图,两条宽度都为1的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为α,则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为      .

  14.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC= ,则tan =      .

  15.在Rt△ABC的直角边AC边上有一动点P(点P与点A,C不重合),过点P作直线截得的三角形与△ABC相似,满足条件的直线最多有      条.

  16.如图,点P(t,0)是x轴正半轴上的一个动点,过点P作y轴的平行线,分别与直线y= x,直线y=﹣x交于A,B两点,以AB为边向右侧作正方形ABCD.有下列五个结论:

  ①∠AOB=90°;②△AOB是等腰三角形;③OP2=2APPB;④S△AOB=3S△AOP;⑤当t=2时,正方形ABCD的周长是16.

  其中正确结论的序号是      .

  三、解答题(共102分)

  17.解方程

  (1)x2﹣6x﹣18=0(配方法)

  (2)3x2+5(2x+1)=0(公式法)

  18.计算下列各题:

  (1) sin6 0°﹣tan30°cos60°;

  (2)|﹣ |+2﹣1+ (π﹣ )0﹣tan60°.

  19.先化简,再求值: ,其中a满足方程a2+4a+1=0.

  20.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?

  21.某 工厂现有80台机器,每台机器平均每天生产384件产品,现准备增加一批同类机器以提高生产总量,在试生产中发现,由于其它生产条件没变,因此每增加一台机器,每台机器平均每天将少生产4件产品 .问应增加多少台机器,才可以使每天的生产总量达到30976件?

  22.如图,大楼AB的高为16m,远处有一塔CD,小李在楼底A处测得塔顶D处的仰角为60°,在楼顶B处测得塔顶D处的仰角为45°,其中A、C两点分别位于B、D两点正下方,且A、C两点在同一水平线上,求塔CD的高.

  23.已知关于x的方程x2﹣(2k+1)x+4(k﹣ )=0.

  (1)求证:无论k取什么实数值,这个方程总有实数根;

  (2)能否找到一个实数k,使方程的两实数根互为相反数?若能找到,求出k的值;若不能,请说明理由.

  (3)当等腰三角形ABC的边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时,求△ABC的周长.

  24.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD,对角线AC与BD相交于点O,线段OA,OB的中点分别为E,F.

  (1)求证:△FOE≌△DOC;

  (2)求sin∠OEF的值;

  (3)若直线EF与线段AD,BC分别相交于点G,H,求 的值.

  25.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.动点M,N从点C同时出发,均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A,B移动,同时动点P从点B出发,以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动,连接PM,PN,设移动时间为t(单位:秒,0<t<2.5).

  (1)当t为何值时,以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似?

  (2)是否存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值?若存在,求S的最小值;若不存在,请说明理由.

  26.如图,在正方形ABCD中,E为BC上一点,且BE=2CE;F为AB上一动点,BF=nAF,连接DF,AE交于点P.

  (1)若n=1,则 =      , =      ;

  (2)若n=2,求证:8AP=3PE;

  (3)当n=      时,AE⊥DF(直接填出结果,不要求证明).

  2014-2015学年江苏省泰州市靖江市靖城中学共同体九年级(上)期中数学试卷

  参考答案与试题解析

  一、选择题(每题3分,共18分)

  1.一元二次方程x2+px+q=0的两根为3、4,那么二次三项式x2+px+q可分解为(  )

  A. (x+3)(x﹣4) B. (x﹣3)(x+4) C. (x﹣3)(x﹣4) D. (x+3)(x+4)

  考点: 解一元二次方程-因式分解法.

  专题: 压轴题.

  分析: 只有把等号左边的二次三项式分解为(x﹣x1)(x﹣x2),它的根才可能是x1,x2.

  解答: 解:若一元二次方程x2+px+q=0的两根为3、4,

  那么倒数第二步为:(x﹣3)(x﹣4)=0,

  ∴x2+px+q=(x﹣3)(x﹣4),故选C.

  点评: 用到的知识点为:若一元二次方程的两根为x1,x2,那么一元二次方程可整理为(x﹣x1)(x﹣x2)=0.

  2.如果x:(x+y)=3:5,那么x:y=(  )

  A.   B.   C.   D.

  考点: 比例的性质.

  分析: 首先根据x:(x+y)=3:5可得5x=3x+3y,整理可得2x=3y,进而得到x:y=3:2.

  解答: 解:∵x:(x+y)=3:5,

  ∴5x=3x+3y,

  2x=3y,

  ∴x:y=3:2= ,

  故选:D.

  点评: 此题主要考查了比例的性质,关键是掌握内项之积等于外项之积.

  3.△ABC中,tanA=1,cosB= ,则△ABC的形状是(  )

  A. 等腰三角形 B. 直角三角形

  C. 等腰直角三角形 D. 锐角三角形

  考点: 特殊角的三角函数值.

  分析: 先根据△ABC中,tanA=1,cosB= 求出∠A及∠B的度数,进而可得出结论.

  解答: 解:∵△ABC中,tanA=1,cosB= ,

  ∴∠A=90°,∠B=45°,

  ∴△ABC是等腰直角三角形.

  故选C.

  点评: 本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键.

  4.小刚身高1.7m,测得他站立在阳光下的影长为0.85m,紧接着他把手臂竖直举起,测得影长为1.1m,那么小刚举起手臂超出头顶(  )

  A. 0.5 m B. 0.55 m C.  0.6 m D. 2.2 m

  考点: 相似三角形的应用.

  分析: 根据在同一时物体的高度和影长成正比,设出手臂竖直举起时总高度x,即可列方程解出x的值,再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度.

  解答: 解:设手臂竖直举起时总高度xm,列方程得:

  = ,

  解得x=2.2,

  2.2﹣1.7=0.5m,

  所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为0.5m.

  故选:A.

  点评: 本题考查了相似三角形的应用,解答此题的关键是明确在同一时刻物体的高度和影长成正比.

  5.某机械厂七月份生产零件50万个,第三季度生产零件196万个.设该厂八、九月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是(  )

  A. 50(1+x2)=196 B. 50+50(1+x2)=196

  C. 50+50(1+x)+50(1+x)2=196 D. 50+50(1+x)+50(1+2x)=196

  考点: 由实际问题抽象出一元二次方程.

  专题: 增长率问题.

  分析: 主要考查增长率问题,一般增长后的量=增长前的量×(1+增长率),如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x,那么可以用x分别表示八、九月份的产量,然后根据题意可得出方程.

  解答: 解:依题意得八、九月份的产量为50(1+x)、50(1+x)2,

  ∴50+50(1+x)+50(1+x)2=196.

  故选C.

  点评: 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,增长率问题,一般形式为a(1+x)2=b,a为起始时间的有关数量,b为终止时间的有关数量.

  6.如图,边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起,连结BD并延长交EG于点T,交FG于点P,则GT=(  )

  A.   B. 2  C. 2 D. 1

  考点: 正方形的性质.

  专题: 压轴题.

  分析: 根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=∠CGE=45°,再求出∠GDT=45°,从而得到△DGT是等腰直角三角形,根据正方形的边长求出DG,再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的 倍求解即可.

  解答: 解:∵BD、GE分别是正方形ABCD,正方形CEFG的对角线,

  ∴∠ADB=∠CGE=45°,

  ∴∠GDT=180°﹣90°﹣45°=45°,

  ∴∠DTG=180°﹣∠GDT﹣∠CGE=180°﹣45°﹣45°=90°,

  ∴△DGT是等腰直角三角形,

  ∵两正方形的边长分别为4,8,

  ∴DG=8﹣4=4,

  ∴GT= ×4=2 .

  故选B.

  点评: 本题考查了正方形的性质,主要利用了正方形的对角线平分一组对角,等腰直角三角形的判定与性质.

  二、填空题(每题3分,共30分)

  7.一公园占地面积约为800000m2,若按比例尺1:2000缩小后,其面积约为 0.2 m2.

  考点: 比例线段.

  专题: 应用题.

  分析: 根据相似多边形面积的比是相似比的平方,列比例式求得图上面积.

  解答: 解:设其缩小后的面积为xm2,

  则x:800000=(1:200 0)2,

  解得x=0.2m2.

  ∴其面积约为0.2m2.

  点评: 注意相似多边形的面积的比是相似比的平方.

  8.设a,b是方程x2+x﹣2009=0的两个实数根,则a2+2a+b的值为 2008 .

  考点: 根与系数的关系;一元二次方程的解.

  分析: 根据根与系数的关系,可先求出a+b的值,然后代入所求代数式,又因为a是方程x2+x﹣2009=0的根,把a代入方程可求出a2+a的值,再代入所求代数式可求值.

  解答: 解:根据题意得a+b=﹣1,ab=﹣2009,

  ∴a2+2a+b=a2+a+a+b=a2+a﹣1,

  又∵a是x2+x﹣2009=0的根,

  ∴a2+a﹣2009=0,

  ∴a2+a=2009,

  ∴a2+2a+b=2009﹣1=2008.

  点评: 根据根与系数的关系、以及方程根的定义可求此题.

  9.若最简二次根式 与 是同类二次根式,则x= 5 .

  考点: 同类二次根式.

  专题: 计算题.

  分析: 根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于x的方程,解出即可.

  解答: 解:由题意得:x2﹣4x=10﹣x,

  解得:x=5或x=﹣2,

  当x=﹣2是不满足为最简二次根式,故舍去.

  故答案为:5.

  点评: 本题考查同类二次根式的知识,难度不大,注意求出x之后检验是否满足题意.

  10.( 3分)(2011白下区二模)已知:如图,E(﹣4,2),F(﹣1,﹣1),以O为位似中心,按比例尺1:2,把△EFO缩小,则点E的对应点E′的坐标为 (﹣2,1)或(2,﹣1) .

  考点: 位似变换.

  分析: E(﹣4,2)以O为位似中心,按比例尺1:2,把△EFO缩小,则点E的对应点E′的坐标是E(﹣4,2)的坐标同时乘以 或﹣ ,因而得到的点E′的坐标为(﹣2,1)或(2,﹣1).

  解答: 解:根据题意可知,点E的对应点E′的坐标是E(﹣4,2)的坐标同时乘以 或﹣ ,

  所以点E′的坐标为(﹣2,1)或(2,﹣1).

  点评: 关于原点成位似的两个图形,若位似比是k,则原图形上的点(x,y),经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx,ky)或(﹣kx,﹣ky).是需要记忆的内容.

  11.关于x的一元二次方程(a﹣6)x2﹣8x+9=0有实根,则实数a的范围为 a≤ 且a≠6 .

  考点: 根的判别式;一元二次方程的定义.

  分析: 根据一元二次方程的定义及根的判别式的意义,得出a﹣6≠0且△=64﹣36(a﹣6)≥0,求出不等式组的解集即可得到实数a的范围.

  解答: 解:∵关于x的一元二次方程(a﹣6)x2﹣8x+9=0有实根,

  ∴a﹣6≠0且△=64﹣36(a﹣6)≥0,

  解得a≤ 且a≠6.

  故答案为:a≤ 且a≠6.

  点评: 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系:

  (1)△>0方程有两个不相等的实数根;

  (2)△=0方程有两个相等的实数根;

  (3)△<0方程没有实数根.

  同时考查了一元二次方程的定义.

  12. 无论x取任何实数,代数式 都有意义,则m的取值范围为 m≥9 .

  考点: 二次根式有意义的条件;非负数的性质:偶次方;配方法的应用.

  专题: 压轴题.

  分析: 二次根式的被开方数是非负数,即x2﹣6x+m=(x﹣3)2﹣9+m≥0,所以(x﹣3)2≥9﹣m.通过偶次方(x﹣3)2是非负数可求得9﹣m≤0,则易求m的取值范围.

  解答: 解:由题意,得

  x2﹣6x+m≥0,即(x﹣3)2﹣9+m≥0,

  ∵(x﹣3)2≥0,要使得(x﹣3)2﹣9+ m恒大于等于0,

  ∴m﹣9≥0,

  ∴m≥9,

  故答案为:m≥9.

  点评: 考查了二次根式的意义和性质.概念:式子 (a≥0)叫二次根式.性质:二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.

  13.如图,两条宽度都为1的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为α,则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为   .

  考点: 解直角三角形;特殊角的三角函数值.

  分析: 重叠部分为菱形,运用三角函数定义先求边长AB,再求出面积.

  解答: 解:∵AC= ,

  ∴它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为:

  ×1= .

  故答案为: .

  点评: 本题问题中,巧妙的运用三角函数求边长是解题的关键.

  14.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC= ,则tan =   .

  考点: 特殊角的三角函数值.

  分析: 先根据题意画出图形,由特殊角的三角函数值求出∠A的度数,再求则tan 的值即可.

  解答: 解:如图所示,AB=2,BC= ,

  ∴sinA= = ,

  ∴∠A=60°.

  ∴tan =tan30°= .

  点评: 此题比较简单,解答此题的关键是熟知特殊角的三角函数值,根据数形结合解答.

  15.在Rt△ABC的直角边AC边上有一动点P(点P与点A,C不重合),过点P作直线截得的三角形与△ABC相似,满足条件的直线最多有 4 条.

  考点: 相似三角形的判定.

  分析: 过点P作直线与另一边相交,使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角,只要再作一个等于△ABC的另一个角即可.

  解答: 解:①过点P作AB的垂线段PD,则△ADP∽△ACB;

  ②过点P作BC的平行线PE,交AB于E,则△APE∽△ACB;

  ③过点P作AB的平行线PF,交BC于F,则△PCF∽△ACB;

  ④作∠PGC=∠A,则△GCP∽△ACB.

  故答案为:4.

  点评: 本题主要考查相似三角形的判定,用到的知识点:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;有两个角对应相等的两个三角形相似.

  16.如图,点P(t,0)是x轴正半轴上的一个动点,过点P作y轴的平行线,分别与直线y= x,直线y=﹣x交于A,B两点,以AB为边向右侧作正方形ABCD.有下列五个结论:

  ①∠AOB=90°;②△AOB是等腰三角形;③OP2=2APPB;④S△AOB=3S△AOP;⑤当t=2时,正方形ABCD的周长是16.

  其中正确结论的序号是 ③④ .

  考点: 一次函数综合题.

  分析: ①由两条垂直直线的斜率的积等于﹣1即可判定①∠AOB=90°故选项错误;

  ②根据等腰三角形的判定定理即可判定②△AOB是等腰三角形,故选项错误;

  ③由直线的斜率可知 = , =1,根据2( )= ,即可求得OP2=2APPB,故选项正确;

  ④设A(m, m),则B(m,﹣m),得出△AOP的面积= OP m= mOP,△BOP的面积= OPm= OP,从而求得S△BOP=2S△AOP,进而得出S△AOB=3S△AOP,故选项正确;

  ⑤t=2时根据直线的解析式先求得PA=1、PB=2,进而求得AB=3,所以正方形的周长=12,故选项错误;

  解答: 解:①由直线y= x,直线y=﹣x可知,它们的斜率的积=﹣ ≠﹣1,所以∠AOB≠90°,故∠AOB=90°错误;

  ②∵AB⊥x轴,∠AOP≠∠BOP,∠AOB≠90°

  ∴OA≠OB,OB≠AB,OA≠AB,

  ∴△AOB不是等腰三角形,故△AOB是等腰三角形;

  ③由直线的斜率可知: = , =1,

  ∴2( )= ,

  ∴OP2=2APPB,故OP2=2APPB正确;

  ④设A(m, m),则B(m,﹣m),

  ∵△AOP的面积= OP m= mOP,△BOP的面积= OPm= OP,

  ∴S△BOP=2S△AOP,

  ∴S△AOB=3S△AOP,

  故S△AOB=3S△AOP正确;

  ⑤t=2时,PA= ×2=1,

  PB=|﹣1×2|=2,

  ∴AB=PA+PB=1+2=3,

  ∴正方形ABCD的周长=4AB=4×3=12;故当t=2时,正方形ABCD的周长是16错误;

  故答案为③④.

  点评: 本题考查了 直线斜率的特点,等腰三角形的判定,直角三角函数的意义,三角形的面积的求法,正方形的周长等,③OP2=2APPB的求得是本题的难点.

  三、解答题(共102分)

  17.解方程

  (1)x2﹣6x﹣18=0(配方法)

  (2)3x2+5(2x+1)=0(公式法)

  考点: 解一元二次方程-配方法;解一元二次方程-公式法.

  分析: (1)先移项,再在方程两边都加上一次项系数一半的平方,将方程左边配成完全平方式,最后根据直接开平方解可以求解了.

  (2)将原方程转化为一般形式,再求出a、b、c的值,最后代入求根求解就可以了.

  解答: 解:(1)移项,得

  x2﹣6x=18,

  在方程两边同时加上9,得

  x2﹣6x+9=18+9,

  左边配方,得

  (x﹣3)2=27,

  解得x﹣3= ,

  ∴x1=3 +3,x2=﹣3 +3

  (2)原方程变形为:

  3x2+10x+5=0

  ∴a=3,b=10,c=5,

  ∴△=b2﹣4ac=100﹣60=40>0,

  ∴x= ,

  ∴x1= ,x2= .

  点评: 本题是一道一元二次方程的解答题,考查了用配方法解一元二次方程,用公式法解一元二次方程的方法.

  18.计算下列各题:

  (1) sin60°﹣tan30°cos60°;

  (2)|﹣ |+2﹣1+ (π﹣ )0﹣tan60°.

  考点: 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.

  分析: (1)将特殊角的三角函数值代入求解;

  (2)分别进行绝对值的化简、负整数指数幂、零指数幂等运算,然后合并.

  解答: 解:(1)原式= ﹣ ×

  = ﹣ ;

  (2)原式= + + ﹣

  =1.

  点评: 本题考查了实数的运算,涉及了绝对值的化简、负整数指数幂、零指数幂等知识,属于基础题.

  19.先化简,再求值: ,其中a满足方程a2+4a+1=0.

  考点: 分式的化简求值.

  专题: 计算题.

  分析: 把原式括号里的第二项提取﹣1,然后把原式的各项分子分母都分解因式,找出括号里两项分母的最简公分母,利用分式的基本性质对括号里两项进行通分,然后利用同分母分式的减法运算法则:分母不变,只把分子相减,计算出结果,然后利用分式的除法法则:除以一个数等于乘以这个数的倒数,变形为乘法运算,约分后即可把原式化为最简分式,把a满足的方程变形后,代入原式化简后的式子中即可求出值.

  解答: 解:原式=

  =

  =

  = = ,(6分)

  ∵a2+4a+1=0,∴a2+4a=﹣1,

  ∴原式= .(10分)

  点评: 此题考查了分式的`混合运算,以及多项式的运算.分式的化简求值题,应先对原式的分子分母分解因式,在分式的化简运算中,要通观全局,弄清有哪些运算,然后观察能否用法则,定律,分解因式及公式来简化运算,同时注意运算的结果要化到最简,然后再代值计算.

  20.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?

  考点: 相似三角形的应用.

  专题: 应用题.

  分析: 如图,由于AC∥BD∥OP,故有△MAC∽△MOP,△NBD∽△NOP即可由相似三角形的性质求解.

  解答: 解:∵∠MAC=∠MOP=90°,

  ∠AMC=∠OMP,

  ∴△MAC∽△MOP.

  ∴ ,

  即 ,

  解得,MA=5米;

  同理,由△NBD∽△NOP,可求得NB=1.5米,

  ∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米.

  点评: 解题时关键是找出相似的三角形,然后根据对应边成比例列出方程,建立适当的数学模型来解答问题.

  21.某工厂现有80台机器,每台机器平均每天生产384件产品,现准备增加一批同类机器以提高生产总量,在试生产中发现,由于其它生产条件没变,因此每增加一台机器,每台机器平均每天将少生产4件产品.问应增加多少台机器,才可以使每天的生产总量达到30976件?

  考点: 一元二次方程的应用.

  分析: 设至少增加x台机器,可以使每天的生产总量达到30976顶,由于现有80台机器,每台机器平均每天生产384件产品,现准备增加一批 同类机器以提高生产总量,在生产过程中,由于其他生产条件没变,因此每增加1台机器,平均每台每天将少生产4件产品,由此即可列出方程解决问题.

  解答: 解:设增加x台机器,

  依题意得(80+x)(384﹣4x)=30976,

  解得x1=x2=8.

  答:应增加8台机器,才可以使每天的生产总量达到30976件.

  点评: 考查了一元二次方程的应用,此题和实际生活结合比较紧密,首先把握现有80台机器,每台机器平均每天生产384件产品,然后把握增加1台机器,平均每台每天将少生产4件产品就可以列出方程就问题.

  22.如图,大楼AB的高为16m,远处有一塔CD,小李在楼底A处测得塔顶D处的仰角为60°,在楼顶B处测得塔顶D处的仰角为45°,其中A、C两点分别位于B、D两点正下方,且A、C两点在同一水平线上,求塔CD的高.

  考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

  专题: 应用题.

  分析: 首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及两个直角三角形,即Rt△BED和Rt△DAC,利用已知角的正切分别计算,可得到一个关于AC的方程,从而求出DC.

  解答: 解:作BE⊥CD于E.

  可得Rt△BED和矩形ACEB.

  则有CE=AB=16,AC=BE.

  在Rt△BED中,∠DBE=45°,DE=BE=AC.

  在Rt△DAC中,∠DAC=60°,DC=ACtan60°= AC.

  ∵16+DE=DC,

  ∴16+AC= AC,

  解得:AC=8 +8=DE.

  所以塔CD的高度为(8 +24)米.

  点评: 本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形.

  23.已知关于x的方程x2﹣(2k+1)x+4(k﹣ )=0.

  (1)求证:无论k取什么实数值,这个方程总有实数根;

  (2)能否找到一个实数k,使方程的两实数根互为相反数?若能找到,求出k的值;若不能,请说明理由.

  (3)当等腰三角形ABC的边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时,求△ABC的周长.

  考点: 根与系数的关系;解一元二次方程-因式分解法;根的判别式;三角形三边关系;等腰三角形的性质.

  专题: 压轴题;分类讨论.

  分析: (1)整理根的判别式,得到它是非负数即可.

  (2)两实数根互为相反数,让﹣ =0即可求得k的值.

  (3)分b=c,b=a两种情况做.

  解答: 证明:(1)∵△=(2k+1)2﹣16(k﹣ )=(2k﹣3)2≥0,

  ∴方程总有实根;

  解:(2)∵两实数根互为相反数,

  ∴x1+x2=2k+1=0,

  解得k=﹣0.5;

  (3)①当b=c时,则△=0,

  即(2k﹣3)2=0,

  ∴k= ,

  方程可化为x2﹣4x+4=0,

  ∴x1=x2=2,

  而b=c=2,

  ∴b+c=4=a不适合题意舍去;

  ②当b=a=4,则42﹣4(2k+1)+4(k﹣ )=0,

  ∴k= ,

  方程化为x2﹣6x+8=0,

  解得x1=4,x2=2,

  ∴c=2,

  C△ABC=10,

  当c=a=4时,同理得b=2,

  ∴C△ABC=10,

  综上所述,△ABC的周长为10.

  点评: 一元二次方程总有实数根应根据判别式来做,两根互为相反数应根据根与系数的关系做,等腰三角形的周长应注意两种情况,以及两种情况的取舍.

  24.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD,对角线AC与BD相交于点O,线段OA,OB的中点分别为E,F.

  (1)求证:△FOE≌△DOC;

  (2)求sin∠OEF的值;

  (3)若直线EF与线段AD,BC分别相交于点G,H,求 的值.

  考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;三角形中位线定理;直角梯形;锐角三角函数的定义.

  专题: 几何综合题.

  分析: (1)由EF是△OAB的中位线,利用中位线定理,得EF∥AB,EF= AB,又CD∥AB,CD= AB,可得EF=CD,由平行线的性质可证△FOE≌△DOC;

  (2)由平行线的性质可知∠OEF=∠CAB,利用sin∠OEF=sin∠CAB= ,由勾股定理得出AC与BC的关系,再求正弦值;

  (3)由(1)可知AE=OE=OC,EF∥CD,则△AEG∽△ACD,利用相似比可得EG= CD,同理得FH= CD,又AB=2CD,代入 中求值.

  解答: (1)证明:∵EF是△OAB的中位线,

  ∴EF∥AB,EF= AB,

  而CD∥AB,CD= AB,

  ∴EF=CD,∠OEF=∠OCD,∠OFE=∠ODC,

  ∴△FOE≌△DOC;

  (2)解:∵EF∥AB,

  ∴∠OEF=∠CAB,

  ∵在Rt△ABC中,AC= = = BC,

  ∴sin∠OEF=sin∠CAB= = = ;

  (3)解:∵AE=OE=OC,EF∥CD,

  ∴△AEG∽△ACD,

  ∴ = = ,即EG= CD,

  同理FH= CD,

  ∴ = = .

  点评: 本题综合考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质,勾股定理,中位线定理,锐角三角函数定义的运用.关键是由全等、相似得出相关线段之间的位置关系,数量关系.

  25.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.动点M,N从点C同时出发,均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A,B移动,同时动点P从点B出发,以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动,连接PM,PN,设移动时间为t(单位:秒,0<t<2.5).

  (1)当t为何值时,以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似?

  (2)是否存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值?若存在,求S的最小值;若不存在,请说明理由.

  考点: 相似形综合题.

  专题: 压轴题.

  分析: 根据勾股定理求得AB=5cm.

  (1)分类讨论:△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况.利用相似三角形的对应边成比例来求t的值;

  (2)如图,过点P作PH⊥BC于点H,构造平行线PH∥AC,由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值;然后根据“S=S△ABC﹣S△BPH”列出S与t的关系式S= (t﹣ )2+ (0<t<2.5),则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值.

  解答: 解:∵如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.

  ∴根据勾股定理,得 =5cm.

  (1)以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似,分两种情况:

  ①当△AMP∽△ABC时, = ,即 = ,

  解得t= ;

  ②当△APM∽△ABC时, = ,即 = ,

  解得t=0(不合题意,舍去);

  综上所述,当t= 时,以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似;

  (2)存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值.理由如下:

  假设存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值.

  如图,过点P作PH⊥BC于点H.则PH∥AC,

  ∴ = ,即 = ,

  ∴PH= t,

  ∴S=S△ABC﹣S△BPN,

  = ×3×4﹣ ×(3﹣t) t,

  = (t﹣ )2+ (0<t<2.5).

  ∵ >0,

  ∴S有最小值.

  当t= 时,S最小值= .

  答:当t= 时,四边形APNC的面积S有最小值,其最小值是 .

  点评: 本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例,二次函数最值的求法以及三角形面积公式.解答(1)题时,一定要分类讨论,以防漏解.另外,利用相似三角形的对应边成比例解题时,务必找准对应边.

  26 .如图,在正方形ABCD中,E为BC上一点,且BE=2CE;F为AB上一动点,BF=nAF,连接DF,AE交于点P.

  (1)若n=1,则 =   , =   ;

  (2)若n=2,求证:8AP=3PE;

  (3)当n=   时,AE⊥DF(直接填出结果,不要求证明).

  考点: 正方形的性质;相似三角形的判定与性质.

  专题: 动点型.

  分析: (1)可通过构建相似三角形,根据相似三角形的对应边成比例来求解.

  (2)同(1)解法.

  (3)根据已知及相似三角形的性质进行求解.

  解答: 解:(1)延长AE交DC的延长线于H,

  ∵四边形ABCD为正方形,

  ∴AB∥DH,

  ∴∠H=∠BAH,∠B=∠BCH,

  ∴△BEA∽△CEH,

  ∴ ,

  设EC=m,则AB=BC=CD=3m,BE=2m,CH=1.5m,

  同理:△AFP∽△DPH,

  ∴FP:PD=AP:PH=AF:DH=1.5m:4.5m=1:3,

  设AP=n,PH=3n,AH=4n,AE:EH=2:1,EH= n,

  ∴PE= n,

  ∴AP:PE=3:5,

  ∴ = , = ;

  (2)证明:如图,延长AE交DC的延长线于H,

  ∵四边形ABCD为正方形,

  ∴AB∥DH,

  ∴∠H=∠BAH,∠B=∠BCH,

  ∴△BEA∽△CEH,

  ∴ ,

  设EC=2a,BE=4a,则AB=BC=CD=6a,CH=3a,AF=2a,

  同理:△AFP∽△HD P, ,

  设AP=2k,PH=9k,

  ∴AH=11k,

  ∴EH= ,

  ∴PE= ,

  ∴ = ,

  ∴8AP=3PE;

  (3)当AE⊥DF时,tan∠BAE=PF:AP=BE:AB=2:3,

  ∵△AFP∽△AFD,

  ∴FP:AP=AF:AD=2:3,

  ∴AF= AD= AB,BF= AB,

  ∴BF= AF,

  ∴n= .

  点评: 本题主要考查了正方形的性质,相似三角形的判定和性质等知识点,通过构建相似三角形得出相关线段间的比例关系是求解的关键.

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