对于递减或严格递减的情况有类似的结论例证明时，因为单调增而与单调性同所以单调增，凸函数的几种定义以及它们的关系，值定义设函数在区间上有定义在上称为是凸函数当且仅当有。
数分选讲讲稿第14讲
讲授内容 第十四讲
4、用求极值的方法证明不等式
备 注 3学时
要证明f(x)g(x)，只要求函数F(x)f(x)g(x)的极值， 证明 minF(x)0．
例4 设aln21，为任一常数．试证：
x22ax1ex（x0）． 证 设f(x)exx22ax1 （x0）
f(x)e2x2a f(x)ex2f(x)
x
得f(x)的唯一稳定点 xln2
当xln2时，f(x)0；当xln2时，f(x)0．minf(x)f(ln2)22ln22a
x02(1ln2)2a0．
例5 设n为自然数， 试证：
ttet(1)net (tn)．
nn2
tt证 原不等式等价于1(1)net
nn2
只要证明f(t)
tt1(1)net0(tn)． nn
2
2ttt
f(t)et(1)n1(1)(1)net
nnn
ttn1t2e(1) nn
令f(t)0，得稳定点t0，t（满足e(1)n12）
n
1
则f(t)的可能极值点为t0，t．
但f(0)0，f()
1(1)ne nn
12(1) nn
2
2
2
(1)22(n1)0
nntt而f(n)n1，f()lim1(1)net
tnn
2
由此得 f(t)minf(t)f(0)0 (tn)．
tn5、利用单调极限证明不等式
若xb时，f(x)（严），且xb0时，f(x)A，则f(x)A（xb）或f(x)A（xb）．
对于递减或严格递减的情况，有类似的结论． 例6 证明：x0，tx时，
t
e(1)x0．
x
t
ln(xt)lnx
lnxx(xtx)
证 当t0或tx时，不等式成立．
只需证明x0，tx，t0的情况．为此，只需证明：
t
当x时，f(x)(1)x单调增，趋于et即可．
x
事实上，当x0，tx，t0时，
txtlnf(x)ln(1)xln(1) xxxx
txx(xt)
ln(1)x 2
xxtx
t
ln(xt)lnx
xtt
t
当 0tx,0xtx t
当 t0,0xxt xt
2
tt0． xtxt
因为lnf(x)单调增，而f(x)与lnf(x)单调性同，所以f(x)单调增．
t
limf(x)lim(1)xet． xxx
t
即当x时，(1)x单调增趋于et．
x
1
例7 证明：集合 Ax0, (1)xe
x
有最小值，并求最小值．
1
证 1 不等式 (1)xe，等价于
x
1
(x)ln(1)1
x1即 x．
1ln(1)
x1所以A等价于是f(x)． x的上界（x0）
1ln(1)
x
按确界定义，即minAsupf(x)．
x020 由不等式
11ln2(1)知
x(1x)x
Ex2
1f(x)10
x(1x)2
ln(1)
x
1
因为f(x)严，即supf(x)limf(x)
x0x
11xx1 30 f(x)
xln(1)ln(1)
xxln(1t)的展开式1
x1111
x(2o(2))
2xx2x
3
1x1
111o()
x2x
1
1-t
1111x1o()1xo()
xx2x2
1
o()
11所以 limf(x)lim
x2x12
x
1
minAsupf(x)limf(x)．
x2x0
二、凸函数
凸函数的几种定义以及它们的关系
定义1设函数f(x)在区间I上有定义，f(x)在I上称为是凸函数，当且仅当x1,x2I，(0,1)，有
f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2)(A)
x1(1)x2 是介于x1,x2之间的值
f(x1)(1)f(x2)
注 10 (A)中""改成""，则是严格凸函数的定义． 20 (A)中""改成""或""，则分别是凹函数与严格凹函数的定义．由于凸与凹是对偶的概念，对凸函数有什么结论，对凹函数亦有相应的结论．所以只讨论凸函数． 30 几何意义．
定义2 设函数f(x)在区间I上有定义，f(x)在I上称为是凸函数，当且仅当x1,x2I，有
xxf(x1)f(x2)f12 (B)
22是介于f(x1)
f(x2)之间的
值定义3 设函数f(x)在区间I上有定义，f(x)在I上称为是凸 函数，当且仅当x1,x2,,xnI，有
4
x1x2xnf(x1)f(x2)f(xn)
(C) f
nn 定义4 设函数f(x)在区间I上有定义，当且仅当曲线
yf(x)的切线，恒保持在曲线以下，则称f(x)为凸函数．
若除切点之外，切线严格保持在曲线的下方，则称f(x)为严 格凸函数．
注 10 定义2、定义3是等价的．
2 当f(x)连续时，定义1、定义2、定义3是等价的． 30 当f(x)处处可导时，定义1、2、3、4是等价的．
常用凸函数的结论：
1、开区间内的凸函数为连续函数； 2、凸函数在每点处有左、右导数；
3、若f(x)在区间I上有二阶导数，则f(x)在I上为凸（严 格凸）函数的充要条件是：f(x)0(0)．
4、f(x)为I上的凸函数的充要条件是：对I上任意三点
x1x2x3，总有
f(x2)f(x1)f(x3)f(x2)
x2x1x3x2f(x2)f(x1)f(x3)f(x1)
x2x1x3x1f(x3)f(x1)f(x3)f(x2)
x3x1x3x2
连接两点弦的斜率的比较 图示
例8 设函数f(x)在区间I上为凸函数．试证：f(x)在I的任一闭子区间上有界．
证 设[a,b]I为任意一闭子区间
5
10 证明f(x)在[a,b]上有上界．
xax[a,b]，取(0,1)，则xb(1)a．
ba由f(x)为凸函数
f(x)f(b(1)a)f(b)(1)f(a)
M(1)MM
其中Mmaxf(a),f(b)，即f(x)在[a,b]上有上界． 20 证明f(x)在[a,b]上有下界．
ab记c为a,b的中点，则x[a,b]，有关于c点的对称
2 点x，由f(x)为凸函数
f(c)
f(x)f(x)11
f(x)M
222
从而 f(x)2f(c)Mm． 即f(x)在[a,b]上以m为下界． 综合10、20知，f(x)在[a,b]上有界．
例9 设f(x)为区间(a,b)内的凸函数．试证：f(x)在(a,b)内 的任一闭子区间[,](a,b)上满足Lipschitz条件．
证 因为[,](a,b)，故可取h0充分小，使得
[h,h](a,b)
于是x1,x2[,]，若x1x2，取x3x2h，由f(x)为凸函数
f(x2)f(x1)f(x3)f(x2)Mm
x2x1x3x2h
其中M,m分别是f(x)在[h,h]上的上、下确界． 从而
Mmf(x2)f(x1)|x2x1|(1)
h
6
若x2x1，取x3x2h，由f(x)为凸函数，有
f(x2)f(x1)f(x3)f(x2)Mm
x1x2x2x3h
Mmf(x2)f(x1)|x2x1|(2)
h Mm
若x2x1，则f(x2)f(x1)|x2x1|成立．h所以，对x1,x2[,]，(1)式均成立．
当x1与x2交换时，(1)式也应成立． 故有
令L
f(x2)f(x1)
Mm|x2x1| h
Mm，则 h
f(x2)f(x1)L|x2x1|．
注 本例说明，在开区间内的凸函数，必内闭一致连续，从而得出连续性．
例10 设f(0)0，f(x)在[0,)上为非负的严格凸函数，
F(x)
f(x)
(x0)．试证：F(x)，f(x)为严格递增的． x
证 因为f(x)在[0,)上为严格凸，所以
x0,x1,x2[0,)，且x0x1x2，有
f(x1)f(x0)f(x2)f(x0)
．x1x0x2x0
x1,x2(0,)，且0x1x2，
F(x2)F(x1)
f(x2)f(x1)
x2x1
f(x2)f(0)f(x1)f(0)
0
x20x10
所以F(x)当x0时，严格递增．
因为f(x)非负，所以x0，有f(x)0f(0)． 下证f(x)0(x0)．
若在某点x10，使得f(x1)0，则0x2x1， 使得f(x2)0（否则f(x)0，与f(x)严格凸矛盾）．
f(0)f(x1)
f(x2)0，与f(x)严格凸矛盾．
2
所以x0，必有f(x)0． 0x1x2，有
f(x2)f(x1)f(x1)f(0)f(x1)
0
x2x1x10x1
即f(x2)f(x1)．
于是f(x)在[0,)上为严格递增的．
例11 设f(x)在[a,b]上二次可微，对[a,b]上每个x，f(x)与
f(x)同号或同时为零．又f(x)在[a,b]的任何子区间内不恒为
零．试证：f(x)0在(a,b)内如果有根，则必唯一．
证 （反证法）设f(x)0在(a,b)内有二个相异的实根
x1,x2(a,b)，不妨设x1x2
因为f(x)在[x1,x2]上连续，存在最大值最小值，但
f(x1)f(x2)0．
所以最大、最小值至少有一个在内部达到（否则与题设矛盾）．
设在(x1,x2)处，有最大值f()0． 由连续函数的局部保号性，0，使得
f(x)0x(,) 由题设f(x)0x(,)
所以f(x)为严格凸函数．
又因为f(x1)f(x2)0，可取0足够大，使得当
x(,)时，f(x)f()．
于是1(,)，使得0f(1)f()（f()为最大值）．
记1关于的对称点为2(,)，有
0f(2)f()．
从而
f(1)f(2)
f()f(12)
22与f(x)的凸性矛盾．
对于在(x1,x2)内部达到最小值，类似可证．
例12 设f(x)在区间(a,b)内为凸函数，且有界． 试证：极限limf(x)与limf(x)存在．
xa0
xb0
证 x(a,b)，nf(x)M，m,M为常数． xx1x0为(a,b)内任意三点，由f(x)的凸性
f(x)f(x0)
当x单调增加时，单调增加．
xx0
又因为
f(x)f(x0)Mf(x0)
(xx1x0)
xx0x1x0
所以
f(x)f(x0)
有界．据单调有界定理，存在极限
xx0
lim
f(x)f(x0)
A．
xx0
xb0
f(x)f(x0)
f(x0) 从而 limf(x)lim(xx0)
xb0xb0xx0
(bx0)Af(x0)．
所以limf(x)存在．
xb0
同理可证limf(x)存在．
xa0
例13 设函数f(x)在区间I上有定义，则f(x)为凸函数的
充要条件是： x0I，实数，使得对xI，有
f(x)(xx0)f(x0)
其中I0表示I的全体内点组成的集合．
证 必要性 因为f(x)为凸函数，x0I，f(x0)存在，
f(x)f(x0)且单调增趋于f(x0)，
xx0
此时
f(x)f(x0)xx0
由此，任取一点f(x0)，则当xx0时，有
f(x)f(x0)
xx0
所以f(x)(xx0)f(x0)．
同理，当取f(x0)，则当xx0时，有
f(x)f(x0)
xx0
所以f(x)(xx0)f(x0)．
因为f(x0)f(x0)，所以对，只要满足
f(x0)f(x0)
单调减趋于
f(x0)
xI，恒有
f(x)(xx0)f(x0)．
充分性 设x1x2x3是区间I上任意三点， 由已知条件，对x2，，使得
f(x)(xx2)f(x2)xI 令xx1，
f(x1)f(x2)
，x1x2f(x3)f(x2)
，x3x2
xx1，
所以x1x2x3时，
f(x3)f(x2)f(x1)f(x2)
x1x2x3x2
所以f(x)为凸函数．
数分选讲讲稿第11讲
讲授内容
第十一讲
二、Lagrange中值定理
1、利用几何意义（弦线法） 备 注 3学时 复习 Lagrange中由Lagrange中值定理知：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内值定理的内可导．则x1,x2(a,b)，介于x1, x2之间，使得
f(x2)f(x1)f()． x2x1 容
即使说：曲线上任意两点的弦，必与两点间某点的切线平行． 例1 设f(x)是可微函数，导函数f(x)严格单调增．若 f(a)f(b)，(ab)．试证：对一切x(a,b)，有 f(x)f(a)f(b)． （不得直接利用凸函数的性质）． 证 x(a,b)，在[a,x]，[x,b]上应用Lagrange中值定理
(a,x)，(x,b)，使得
f()f(x)f(a)f(b)f(x)，f()． xabx
因为f(x)严格单调增，所以f()f()．即 f(x)f(a)f(b)f(x)． xabx由f(a)f(b)，解上式得f(x)f(a)f(b)． 例2设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可
导．又f(x)不是线性函数，且f(b)f(a)．试证： (a,b)， 使得f()f(b)f(a)． ba
证 过点a,f(a),b,f(b)的线性函数为 yf(a)f(b)f(a)(xa)． ba
1
因为f(x)不是线性函数，所以
f(b)f(a)F(x)f(x)f(a)(xa)0 (1) ba
即证(a,b)，使得F()0． （按弦线法，要找曲线yF(x)的一根弦，其斜率大于零） 由已知条件知，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可微，且
F(a)F(b)0．满足Lagrange中值定理的条件．由(1)知
x0(a,b)，使得F(x0)0． 当F(x0)0时，在[x0,b]上应用Lagrange中值定理 (x0,b)，使得F()F(b)F(x0)F(x0)0． bx0bx0当F(x0)0时，在[a,x0]上应用Lagrange中值定理 F(x0)F(a)F(x0)0． (a,x0)，使得F()x0ax0a2、利用有限增量公式导出新的中值公式 借助不同的辅助函数，可由有限增量公式 f(b)f(a)f()(ba)介于a,b之间 f(x0x)f(x0)f(x0x)x01 导出新的中值公式．
例3设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内有二阶导数．试证：c(a,b)，使得
ab(ba))f(a)f(c)．(1) 242
f(b)2f(ab)f(a) 证f(b)2f(2ababf(b)f()f()f(a) 22
2
abbaabba
f()f()f(a)f(a)
2222
作辅助函数 (x)f(x
ba)f(x) 2
ab)f(a) 则f(b)2f(2
ab)(a) (2
abbaab
a)()) ()( (a,222
baba
f( )f()
22f(bababa
) 01 222
ba(ba)2
(a,b)）f(c)（其中c24
例4设 a,b0，试证：(a,b)，使得
aebbea(1)e(ab)． (1)
证 将(1)变形
1xee11(1)e() baba
ba11令f(x)xe，x[,]
ba11则f(x)在[,]上满足Lagrange中值定理的条件，
ba11(,)，使得
ba1111f()f()f()() baba
即ee111(1)e()． baba
ba1
11111
因为()，，所以令，则ab
baba
即ee11
(1)e()． baba
ba3
例5（导数极限定理）设f(x)在点x0的某邻域U(x0)内连续 在U(x0)内可导，且limf(x)存在，则f(x)在点x0可导，且
xx0
f(x0)limf(x)．
xx0
证 10 任取xU(x0)，f(x)在[x0,x]上满足Lagrange中值
定理的条件，(x0,x)，使得
f(x)f(x0)
f()()
xx0
由于x0x，因此当xx0时，有x0，对()两边取极限
f(x)f(x0)
limlimf()f(x00)． xx0xx0xx0
即f(x0)f(x00)．
2 同理可证f(x0)f(x00)．
因为limf(x)k存在，所以f(x00)f(x00)k，从而
xx0
f(x0)f(x0)=，即f(x0)k．
3、作为函数的变形
若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可微，则在[a,b]上
f(x)f(x0)f()(xx0) 介于x, x0之间．作为f(x)的一种变形，它给出了函数与导数的一种关系，可用来 研究函数的性质．（Taylor公式的0次项）
例6 设f(x)在[0,)上可微，且f(0)0．并有实数A0
使得 f(x)Af(x)，在[0,)上成立，试证明：在[0,)上，
f(x)0.
证I 因为f(x)在[0,)上可微，且f(0)0，所以由Lagrange中值定理知
4
f(x)f(x)f(0)f(1)xAf(1)x， 01x
1
当限制x(0,)时，则得
2Af(x)
1
f(1)． 2
重复使用此式可得
111
f(1)2f(2)nf(n) 222
1
其中 0nn121x．
2A1
由f(x)的连续性，M0，对x[0,]，有
2Af(x)
f(x)M
M1故f(x)nx[0,](n1,2,)
22A
1
从而 f(x)0 x[0,]．
2Ai1i
,] (n1,2,)上， 用数学归纳法，可证在一切x[
2A2A
恒有f(x)0．
所以 f(x)0，x[0,)．
证II 因为f(x)在[0,
11]上连续，所以x1[0,]，使得 2A2Af(x1)maxf(x)M．
0x12A
于是Mf(x1)f(0)f()(x10)f()x1Af()x1
11f()M
221
所以M0，f(x)0，x[0,]．
2A以下同证I．
注 将[0,)改为[a,b]，将f(0)0改为f(a)0可得同样 结论．
5
例7 设f(x)，g(x)在[a,b]上连续，g(x)在(a,b)内可微， 且g(a)0．若有实数0，使得
g(x)f(x)g(x)g(x) x(a,b)
成立．试证：g(x)0x[a,b]．
证 因为f(x)在[a,b]上连续，所以M0，使得 f(x)M x[a,b]． 若M0，则f(x)0，x[a,b]．
g(x)g(x)
g(x)
1||
g(x)
由例6知，g(x)0x[a,b]．
若M0，有三角不等式
|||g(x)||f(x)||g(x)|g(x)f(x)g(x)g(x) |||g(x)||f(x)||g(x)|g(x)(1M)g(x)
|g(x)|
1Mg(x) ||
由例6知，g(x)0x[a,b]．
例8 设在[0,a]上，f(x)M．f(x)在(0,a)内取最大值．试证：f(0)f(a)Ma．
证 设f(x)在x0(0,a)出取最大值，则f(x0)0． 将f(x)在[0,x0]，[x0,a]上应用Lagrange中值定理，得
f(x0)f(0)f()x0(0,x0)
f(a)f(x0)f()(ax0)(x0,a)
f(0)f()x0Mx0
f(a)f()(ax0)M(ax0)．
两式相加得
x
f(0)f(a)Ma．
例9 证明：若函数f(x)在(0,)内可微，且limf(x)0，
f(x)
0． 则 lim
xxf(x)
0，即要证： 证 要证lim
xx0，M0，当xM时，有
f(x)
． (1)x
已知limf(x)0，对上述0，A0当xA时，有
x
f(x)
2
． (2)
由Lagrange中值定理，对xA，(A,x)，使得
f(x)f(A)f()(xA)．
故f(x)f(A)xA|f(A)|
|f()|． xxxx2
|f(A)|2|f(A)|
0， B0 但x时，
x|f(A)|
当xB时，
x2于是取MmaxA,B，则当xM时，
f(x)
． x
三、导数的两大特性
10 导数无第一类间断点；20导数具有介值性． 1、导数无第一类间断点
例10 设函数f(x)在(a,b)内处处有导数f(x)．证明：(a,b)中的点或者为f(x)的连续点，或者为f(x)的第二类间断点．
证 因为f(x)在(a,b)内处处可导，所以x0(a,b)，有 f(x0)f(x0)lim
xx0
f(x)f(x0)
xx0
f()(xx0)
limlimf() x0x
xx0xxxx00
若f(x)在x0处有右极限时，必有
f()f(x00) （导数右连续）f(x0)lim
xx0
同理可证，若f(x)在x0处有左极限时，必有
f(x0)f(x00)（导数左连续）
因此，在在(a,b)内任一点x0处，除非至少有一侧f(x)无极限（这 时x0为f(x)的第二类间断点．）否则，两侧的极限都存在，且
f(x00)f(x0)f(x00)．
则f(x)在x0处连续．
注 所谓导数无第一类间断点，是指在导数处处存在的前提 下讲的．如
f(x)|x|，当x0时，f(x)1
当x0时，f(x)1
在x0处，为f(x)的第一类间断点，这与我们的结论不矛盾，因为f(x)在x0处不可导．
例11 设f(x)在(a,b)内可导，导函数f(x)在(a,b)内单调，则f(x)在(a,b)内连续．
证 因为f(x)在(a,b)内单调，若有间断点必为第一类间断 点，矛盾．
故f(x)在(a,b)内连续．
2、导数的介值性
例12 若函数f(x)在[a,b]上处处可导（端点指单侧导数）．
f(a)f(b)．则c: f(a)cf(b)， (a,b)，使得f()c．
证 作辅助函数g(x)f(x)cx 则g(x)在[a,b]上可导， g(a)f(a)c0g(b)f(b)c0
（若g(x)连续，则由连续函数的介值定理，直接推得结论．而现 在不知g(x)是否连续）
由于lim
g(x)g(a)
g(a)0
xa0xa
所以当xa，x充分接近a时，有g(x)g(a)．
同理，g(b)0，当xb，x充分接近b时，有g(x)g(b)．
故g(x)在端点a，b处不取最小值．但g(x)连续且可导，在闭区 间[a,b]上有最小值，必在开区间(a,b)内某点取得． (a,b)，使得g()ming(x)．
axb
g()亦为g(x)的极小值．由Fermat定理知，必有g()0．
即 f()c0，f()c
例13 设函数f(x)在区间(,)上二次可微，且有界． 试证明：x0(,)，使得
f(x0)0．
证明 若f(x)变号，a,b(,)，使得
f(a)f(b)0．
则 f(a)0f(b) 或 f(a)0f(b)． 由导数的介值性，介于a,b之间，使得f()0． 下证f(x)不会不变号．
假设f(x)不变号．不妨设f(x)0．则f(x)严格递增． 取x0，使f(x0)0．
若f(x0)0，则当xx0时，
f(x)f(x0)f()(xx0) x0xf(x0)f(x0)(xx0)(x) 若f(x0)0，则当xx0时，
f(x)f(x0)f()(xx0) xx0f(x0)f(x0)(xx0)(x) 与f(x)的有界性矛盾． 故f(x)必变号．
数分选讲讲稿第17讲
青岛大学讲稿
讲授内容
第十七讲
§4.3定积分的可积性
一、直接用定义证明可积性
n
备 注 3学时
lim
0
i1f(i)xiJ
b a
f(x)dx：
，以及在其
0,0，使得对[a,b]的任何分割T
上的任意选取的点集{i}，只要||T||，就有
n
i1f(i)xiJ．
例1 设f(x), F(x)在[a,b]上连续，且axb时，
F(x)f(x)
试用定义直接证明f(x)在[a,b]上可积，且
b a
f(x)dxF(b)F(a).
证对任意分划 T:ax0x1xnb
n
F(b)F(a)
F(x)F(x
i
i1i1)
n
F(i1n
i
)(xixi1)i[xi1,xi]
i1f(i)(xixi1)i[xi1,xi]
因为
b a
n
f(x)dxlim
0
i1f(i)xi i[xi1,xi]
n
问题是要证明 limf(i)xiF(b)F(a)
0
i11
n
即证：0,
f(i1i
)f(i)xi
n
i1f(i)f(i)xi i,i[xi1,xi]
因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上一致连 续，0,0，当x,x[a,b]，且xx时，有
f(x)f(x)
ba．i
因此，当||T||时，iixi
n
n
故i1f(i)f(i)xi
bax
i1.
例2证明：f(x)在[a,b]上可积的充要条件是：
对任何一个使得k||Tk||0的分划序列Tk所作的积分和
nknki1f(i)xi，其极限lim
k
i1f(i)xi恒存在，并且相同（不
妨记为I）
证必要性明显.
充分性：（利用反证法）若f(x)在[a,b]上不可积，则
00,
1k0,分划Tk
1k及(k)
i[xi1,xi]，
nk虽然对应的k||Tk||
，但If(i(k))xi0.
i1如此得到一个分划序列Tk，虽然k0，但
nklim
k
i1f(i
(k)
)xiI
与已知条件矛盾.
2
二、利用定理证明可积性
定理9.3 （可积准则）函数f(x)在[a,b]上可积的充要见参考书 条件是：任给0,总存在相应的一个分划T，使得
S(T)s(T)
《数学分析》上册（第三版）
.
华师大数学系编
定理9.3 （可积准则）函数f(x)在[a,b]上可积的充要 条件是：任给0,总存在相应的一个分划T，使得
x
i
T
i
.
定理9.16 （可积的充要条件）函数f(x)在[a,b]上可积 的充要条件是：任给正数、,总存在某一个分划T，使得
属于T的所有小区间中，对应于振幅k的那些小区间
k的总长xk.
knn
n
证明单调函数的可积性
ni1
方法A：若i有界，可以利用ixiiM，
i1i1i1只要
M
即可.
方法B：证明i,(i1,2,,n)从而ixi(ba)． 证明连续函数的
可积性
xi方法C：利用ixiixiixi 其中中，i
ba,则ixi
ba.
中，
x[a,b]
x
i
x[a,b]
，则
x
xi. ii
其中supf(x)inff(x)是f(x)在[a,b]上的全振幅.
方法D：利用ifig（其中if,ig分别表示函数f(x)与如：f(x)在[a,b].从g(x)的可积性，得f(x)的g(x)在第i个小区间上的振幅）可积性.
上可积，用方法D可证f(x)在[a,b]上可积
3
例3 设f(x)是[a,b]上的有界变差函数，即f(x)在[a,b]上的全变差在Msupf(xi)f(xi1).
T
n
i1试证：f(x)在[a,b]上可积.
证对任意分划T，有iM
i1n
由方法A，可证其可积性.
例4设f(x)在[a,b]上的每一点处的极限存在并且皆 为零.试证：f(x)在[a,b]上可积，且f(x)dx0.
a b
证设x0[a,b]，有limf(x)0.
xx0
10,x00,当x(x0x0,x0x0)时，有
f(x)1 (xx0)
如此，(x0x,x0x)x0[a,b]组成了[a,b]的一个
开覆盖. 由有限覆盖定理，其中存在有限子覆盖
(xi
xi,xixi)i1,2,,k
至此，证明了除有限个点x1,x2,,xk外，恒有
f(x)1 (xx1,x2,,xk) （A） 下证f(x)的可积性.0,令1=
4(ba)
,则（A）式成立.
取Mmaxf(x1),f(x2),,f(xk),1，作一分划T
. 使含x1,x2,,xk的各小区间之总长xi
4M则x
i
i
x
iix
iiM
i
mixi
Mmx
iii
2Mx2x
i1i
4
2M4M21(ba)
其中
表示含x,x,,x
12k
的各小区间的对应项之和.
表示其余各项之和.
f(x)在[a,b]上可积.
既然f(x)在[a,b]上可积，点i不论怎样选取，积分和
的极限相同.因此，每次只要选取i与（A）中的x1,x2,,xk不同．取minx,x,x，当||T||时，
1
2
k
nnn
i1f(i)xi
i1f(i)xi1xi1(ba)
i1n
lim
0
i1f(i)xi=0
即：f(x)dx0.
a
b
例5设f(x)在[a,b]上可微．试证：f(x)在[a,b]上可积的充要条件是：存在可积函数g(x)，使得
f(x)f(a)g(t)dt. (1)
ax证必要性 令 g(x)f(x)，则g(x)在[a,b]上可积
f(x)f(a)
x a
f(t)dt
x a
g(t)dt
充分性设T: ax0x1xnb是[a,b]的任一分关于充分性，下面划．记
miginfg(x),Migsupg(x)i1,2n.
xi1xxi
xi1xxi
gigigi的证法是错误的： 将(1)式两端对x
求导，得
则 Mm i1,2n.
f(x)g(x)
设 x[xi1,xi]为任意一点，xx[xi1,xi]，则由题设
fxf(xx)f(x)
x
1xxx x
由g(x)的可积性，
g(t)dt
知f(x)可积. 错误是g(x)未必
注意到migg(x)Mig，所以
5
mig令x0，得
m
gifxMig
.
连续，从而
f(x)M
gix[xi1,xi]
gixag(t)dt
g(x)
因此f(x)在[xi1,xi]上的振幅
isupf(x)inf
xi1xxi
f
xi1xxi
未必成立.
f(x)M
gim
gi故0
ixi
f
gixi
因为g(x)在[a,b]上可积，limigxi0
0
可知limifxi0
0
所以f(x)在[a,b]上可积．
例6证明Riemann函数R(x)在[0,1]上可积． 例7 f(x)在[a,b]上可积的充要条件是：0,
0, 分划T
，使得振幅i的那些小区间[xi1,xi]
的长度之和
i
xi．
（通俗地说，即是振幅不能任意小的那些小区间之总长可任意小）
证必要性设f(x)在[a,b]上可积，则0,
0, 分划T
，使得
x
i
i
n
i
xix
i
i
x
i
i1i
i
有i
xi.
充分性已知10,0, 分划T，使得
i1xi
n
从而 ixiixi
i1i1ixi
本例题可作为定理用.关键在于对
0,0,
i1i1xii11xi
1(ba)
其中supf(x)inff(x)是f(x)在[a,b]上的全振幅.
x[a,b]
x[a,b]
当0,取1
2(ba)
n
,
2
,T，则有
找一个分划T，使得xi.
i
x
i
i1i
所以，f(x)在[a,b]上可积.
例8 设yf(u)在[A,B]上连续，u(x)在[a,b]上可
F(x)f(x)在[a,b]积.当x[a,b]时，A(x)B.试证：
上可积.
证 f(u)在[A,B]上连续，
f(u)在[A,B]上一致连续.
]
0, 0，当u,u[A,B], uu时，有
f(u)f(u)<
2
(1)
因此作分划后，在[xi1,xi]上，若(x)的振幅i 则F(x)f(x)的振幅iF.
[事实上，这时x,x[xi1,xi], 记u(x),u(x) 则uu(x)(x)i 从而 F(x)F(x)f(u)f(u)<.
2
iFsup
xi1x,xxi
F(x)F(x)
2
由此可见，在[xi1,xi]上，若iF，必有i 故
i
F
xii
xi (2)
如此，0,0，首先按(1)式找出0,再由
(x)在[a,b]上可积，对0与0, 分划T，使得
i
xi <
由(2)得
Fixii
xi所以，F(x)在[a,b]上可积.
下面讨论可积性与连续性的关系.
例9若f(x)在[a,b]上的不连续点，可以用有限个总长度任意小的有限个区间所覆盖，则f(x)在[a,b]上可积.
（直接应用定理9.16）
例10若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)连续点在[a,b]上 处处稠密.
证只要证明f(x)在[a,b]内至少有一个连续点.
若找到一个连续点x0，则f(x)在[a,x0]、[x0,b]上可积，在
[a,x0]、[x0,b]内有连续点.以此类推，证明了连续点处处稠
密.
用区间套定理，证明f(x)在[a,b]内至少有一个连续点. f(x)在[a,b]上可积，
n
lim
0
ixi0.
i1对1
12, 分划T1，使得ixi1(ba)(1)
如此，至少存在一个小区间[xi1,xi]，使得其上f(x)的振幅
i1n
（若不然，ixi1xi1(ba)与(1)式矛盾）
将此小区间适当收缩，总可以使得它的长度
xixi1
12(ba)
记缩小后的小区间为[a1,b1]，则
aa1b1b, b1a1
12f
(ba),f(x)在[a1,b1]的振幅 1
12[a1,b1
]
．将[a1,b1]取代上面的[a,b]，作同样的处理 ，可知对 1
12, [a2,b2][a1,b1][a,b]， a1a2b2b1, 12
(b1a1)
12f
2
b2a2
2
(ba),f(x)在[a2,b2]的振幅 2
122
[a,b2]
如此无限做下去，可得一区间套
1 [a,b][a1,b1][a2,b2][an,bn]
2 0<bnan
12n
(ba)0(n)
n
12n
且f(x)在[an,bn]的振幅[fa
n
,bn]
据区间套定理，[an,bn](n1,2,)
limanlimbnanbn (n1,2,)
n
n
则f(x)在处连续.事实上0,可取n足够大，使得
12n
从而令minbn,an 则当x时，x[an,bn]，有
f(x)f()
f
[an,bn]
12
即 limf(x)f()
x
所以f(x)在处连续.
例11 证明：若f(x)0在[a,b]上有定义且可积，则 等式f(x)dx0．
a b
成立的充要条件是f(x)在连续点上恒为零．
证 必要性（反证法）若x0[a,b]为f(x)的连续点，
f(x0)0，则0,使得
b a
f(x)dx
x0 x0
f(x)dx0
连续函数的局部保号性
矛盾．所以，f(x0)0．
充分性因为 f(x)在[a,b]上可积，则f(x)的连续点在
[a,b]上处处稠密.
n
分划T: ax0x1xnb
取i为[xi1,xi] (i1,2,,n)上f(x)的连续点，则
f(i)0
n
积分和
i1f(i)xi0
b a
f(x)dxlim
0
i1f(i)xi=0
．
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