数学的领悟读书笔记
一、摘要
理解实质：
学会，会学
对于学生，不应只满足于表面文字的学会，还要深入理解概念、原理、方法等的精神实质。
这样解à怎样解
看透本质：
我们做题，首先要找到答案，这是基本要求，但不是最终的目的。如果求出答案后不能把题目所隐含的数学内容的实质揭示出来，就等于在原有的思维水平上简单重复、原地踏步而已。
知其然，不知其所以然
优化素质：
优化数学素质的主要途径是注重知识的发生过程，如概念的形成过程，定理的发现过程，证明的寻求过程等。对于解题来说，进行解题过程的分析是优化素质的一条捷径。
居高临下的回首，就为我们提供了指导性的经验。
学数学毕竟与学技艺不尽相同。一门技艺可以通过模仿与重复操练去掌握，而数学解题不是机械地重复数学基础知识和数学基本方法，还要综合而灵活地运用这些知识和方法，它在本质上是一种创造性的思维过程。
后来，我们悟出了一个门路，那就是通过已知学未知，通过分析已经解决过的题来领悟解题的思想，通过解题思想来驾驭知识与方法。
这个体会和方法，使我们摆脱了单纯的模仿和在同一思维层次上的简单重复，使得每一天的学习都能获得解题能力或思维水平的一点提高。我们认为，为了提高数学能力，至少在还没有找到更好的办法之前，“分析已经解决的题”是一个普遍可行的好方法。
事实上，解题思路的获得，包括下列“三位一体”的完整工作：
1. 捕捉有用的'信息，符号信息和形象信息;
2. 提取记忆，主要是相关的公式、定理、基本模式等解题依据;
3. 将两者有效组合，使之成为一个合乎逻辑的和谐结构。苦难就在于此步。
做题的作用：巩固知识，加强记忆，加深理解的知识目的;
但更有提高能力，开发智力，训练思维的能力目的。
解题的心理过程：
知道的越多，不知道的也越多
有用捕捉、有关提娶有效组合是心理活动的外在表现它恰好对应着人的复杂心理活动过程的三个环节：观察试验、联想转化、推理证明。
联想转化的朴素含义是，把待解决的或未解决的问题，归结为一类已经解决的或者比较容易解决的问题。
爱因斯坦说过：你能观察到眼前的什么现象，不仅取决于你的肉眼，还取决于你运用什么样的思维，思维决定了你到底能观察到什么。例子，鲁宾双关图形
G.波利亚：
为初中生设计的：
设计出自己的解题表，以适应具体的学科和学习的不同阶段
差异分析法：
题目的条件与结论之间的差异成为目标差
解题的实质就在于设计一个目标差不断减少的过程
通过不断寻找目标差，不断减少目标差而完成解题的思维方法，成为差异分析法
从寻找目标差入手，未知是什么?已知是什么?两者有什么联系与区别?
特殊化：
数学家认为，在讨论数学问题时，特殊化比一般化起着更为重要的作用
特殊化问题有可能更简单、更容易，进而推广之
其功能在于：1解题的突破口，2寻找解题思路的策略，3完成解题过程的方法
由一般退到特殊，由复杂退到简单，由抽象退到具体，由整体退到部分，退到最原始而又不失去重要性的地方，退到你会做、能下手的问题上
数形结合：一柄双刃的利剑
数转化为形，看透实质
如果一个特定的问题被转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并能创造性地思索问题的解法
形转化为数，
转换思考的角度：
顺向推导有困难时就逆向反求，直接解决问题有困难就间接解决，正面证实困难就反面否定，探究可能性困难就探究不可能性，等式证明从左到右不顺利就从右到左
逆推法，反证法，举反例，常量变量换位，公式定理的逆用
分析法：由未知，找须知，靠拢已知
反证法更适用于否定性问题、无限性命题、唯一性命题、存在性问题、逆命题、学科起始性命题。
分类讨论：
层次解决：
解题研究表明，人们在创造性处理一个新问题时，思维是按照层次展开的，先粗后细，先宽后窄
一般性解决à功能性解决，à特殊性解决
层次法往往同方程、函数结合起来
解题过程分析：
1. 多走了哪些回路，删除合并之
2. 能否用更一般的原理代替现存的很多步骤，提高解题的观点和层次
3. 是否有特殊的技巧
4. 是否浪费了更重要的信息?
整体分解，提炼步骤
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