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切比雪夫不等式的推导证明方法
切比雪夫不等式是一个有名的公式，关于这个公式的证明方法是怎样的呢?下面就是百分网小编给大家整理的切比雪夫不等式证明内容，希望大家喜欢。
切比雪夫不等式证明方法一
试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。
分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此
1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布.
解:设X表示1000次试验中出现正面H的次数,则X是一个随机变量,且
~XB(1000,1/2).因此
500
2
1
1000=×==npEX,
250)
2
答题完毕，祝你开心!
1
1(
2
1
1000)1(= ××= =pnpDX,
而所求的概率为
}500600500400{}600400{ << =< }100100{< < =EXXP
}100{< =EXXP
975.0
100
1
2
= ≥
DX
切比雪夫不等式证明方法二
切比雪夫(Chebyshev)不等式
对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0,
恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2
切比雪夫不等式说明，DX越小，则 P{|X-EX|>=ε}
越小，P{|X-EX|<ε}越大， 也就是说，随机变量X取值基本上集中在EX附近，这进一步说明了方差的意义。
同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率P{|X-EX|>=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量X的具体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。
切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过K倍标准差的数据占的比例至多是1/K^2。
在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近：
与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4
与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9
与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16
切比雪夫定理介绍
由切比雪夫提出，描述如下：
设随机变量X的.数学期望和方差都存在，则对任意常数 ε>0，有P( | X - E(X) | ≥ ε ) ≤ D(X) / ε² ，或P( | X - E(X) | < ε ) ≥ 1 - D(X) / ε²。
在初等数论中，若a1≤a2≤……≤an，b1≤b2≤……≤bn，则a1bn+a2b(n-1)+……+anb1≤(a1+……+an)(b1+……+bn)/n≤a1b1+a2b2+……+anbn 。
19世纪俄国数学家切比雪夫[3] 研究统计规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，这个不等式具有普遍的意义，被称作切比雪夫定理 chebyshev's theorem 其大意是 ：
任意一个数据集中，位于其平均数m个标准差范围内的比例(或部分)总是至少为1-1/㎡，其中m为大于1的任意正数。对于m=2，m=3和m=5有如下结果：
所有数据中，至少有3/4(或75%)的数据位于平均数2个标准差范围内。
所有数据中，至少有8/9(或88.9%)的数据位于平均数3个标准差范围内。
所有数据中，至少有24/25(或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内 。
其计算公式通常表示为：
μ为X的均值，sigma为X的标准差。
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