数学中定义证明二重极限

数学中定义证明二重极限

　　二重极限是一个数学难题，那该如何去定义呢？下面就是学习啦小编给大家整理的定义证明二重极限内容，希望大家喜欢。

　　关于二重极限的定义

　　各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点P(X，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数A就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的`任一邻域中除见外，总有异于凡的属于D的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对D内适合不等式0<户几卜8的一切点P，有不等式V(P)一周<。成立，则称A为函数人P)当P～P。时的极限.定义3设函数X一人工，”的定义域为D，点产人工。，人)是D的聚点，如果对于任意给定的正数。，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点P(X，…ED，都有成立，则称A为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人X，…在点P入x。，汕)的某去心邻域内有定义，而定义2允许人工，y)在点P。(X。，入)的任一去心邻域内都有使人X，y)无定义的点，相应地，定义I要求见的去心邻域内的点P都适合/(P)一A卜

　　利用二重极限存在准则证明

　　(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;

　　(2)证明数列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。

　　1)用夹逼准则:

　　x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

　　且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0

　　故(Inx/x^2)的极限为0

　　2)用单调有界数列收敛:

　　分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a

　　x0>√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2<0,单调递减

　　且Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.

　　设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.

　　对原始两边求极限得A=[A+(a/A)]/2.解得A=√a

　　同理可求x0<√a时,极限亦为√a

　　综上,数列极限存在,且为√

　　(一)时函数的极限：

　　以 时 和 为例引入.

　　介绍符号: 的意义, 的直观意义.

　　定义 ( 和 . )

　　几何意义介绍邻域 其中 为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

　　例1验证 例2验证 例3验证 证 ……

　　(二)时函数的极限：

　　由 考虑 时的极限引入.

　　定义函数极限的“ ”定义.

　　几何意义.

　　用定义验证函数极限的基本思路.

　　例4 验证 例5 验证 例6验证 证 由 =

　　为使 需有 为使 需有 于是, 倘限制 , 就有

　　例7验证 例8验证 ( 类似有 (三)单侧极限:

　　1.定义：单侧极限的定义及记法.

　　几何意义: 介绍半邻域 然后介绍 等的几何意义.

　　例9验证 证 考虑使 的 2.单侧极限与双侧极限的关系:

　　Th类似有: 例10证明: 极限 不存在.

　　例11设函数 在点 的某邻域内单调. 若 存在, 则有

　　= §2 函数极限的`性质(3学时)

　　教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

　　教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

　　教学重点：函数极限的性质及其计算。

　　教学难点：函数极限性质证明及其应用。

　　考研数学二重极限的定义

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