如何证明几何余弦定理范文

　　余弦定理是几何的定理，那该怎么证明呢?余弦定理证明哪个方法才好呢?下面就是百分网小编给大家整理的如何证明余弦定理内容，希望大家喜欢。

如何证明几何余弦定理范文

　　证明余弦定理方法一

　　步骤1.

　　在锐角△ABC中，设三边为a，b，c。作CH⊥AB垂足为点H

　　CH=a·sinB

　　CH=b·sinA

　　∴a·sinB=b·sinA

　　得到

　　a/sinA=b/sinB

　　同理，在△ABC中，

　　b/sinB=c/sinC

　　步骤2.

　　证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

　　如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

　　作直径BD交⊙O于D.

　　连接DA.

　　因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

　　因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

　　所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

　　a/SinA=BC/SinD=BD=2R

　　类似可证其余两个等式。

　　证明余弦定理方法二

　　在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b

　　则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

　　a^2=b^2+c^2-2bc*cosA

　　b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

　　下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。

　　过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a

　　由勾股定理得：

　　c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2

　　所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2

　　=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2

　　=a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2

　　=a^2+b^2-2a*CD

　　因为cosC=CD/b

　　所以CD=b*cosC

　　所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

　　题目中^2表示平方。

　　谈正、余弦定理的.多种证法

　　正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教A版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合.

　　定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则

　　(1)(正弦定理) = = ;

　　(2)(余弦定理)

　　c2=a2+b2-2abcos C,

　　b2=a2+c2-2accos B,

　　a2=b2+c2-2bccos A.

　　一、正弦定理的证明

　　证法一：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则有

　　AD=b•sin∠BCA，

　　BE=c•sin∠CAB，

　　CF=a•sin∠ABC。

　　所以S△ABC=a•b•csin∠BCA