设在四边形ABCD中，向量AB=a,向量BC=b,向量CD=c,向量DA=d,且a*b=b*c=c*d=d*a,问该四边形是什么图形？
a=-c,b=-d,
代入已知条件中，
易得a*b=b*(-a)
所以a*b=0
a⊥b
所以四边形为矩形。
对不起，此题原解答有误，正确解答如下。
由于a*b=b*c=c*d=d*a
所以b*a-b*c=b*(a-c)=0
> c*b-c*d=c*(b-d)=0
> d*c-d*a=d*(c-a)=0
> a*b-a*d=a*(b-d)=0
所以b⊥a-c,c⊥b-d,d⊥a-c,a⊥b-d.
对于通常意义上的四边形，a-c、b-d不是零向量。
所以b//d,a//c
所以四边形首先一定是平行四边形。
于是，a=-c,b=-d,
代入已知条件中，
易得a*b=b*(-a)
所以a*b=0
a⊥b
所以四边形为矩形。
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