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切线﹝Tangent﹞
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8月31日
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欧几里得的《几何原本》第三卷的命题16：『由一个圆的直径的端点作直线与直径成直角。则该线落在圆外，在这个平面上在这直线与圆周之间不能再插入另外的直线；而且半圆角大于任何锐直线角，而余下的角小于任何锐直线角。』﹝英文文本为：The straight line drawn at right angles to the diameter of a circle from its end will fall outside the circle, and into the space between the straight line and the circumference another straight line cannot be interposed, further the angle of the semicircle is greater, and the remaining angle less, than any acute rectilinear angle.
此命题中『过圆直径的一端垂直于直径的直线』是指圆的一条切线。从这命题可推出：圆的切线与圆只有一个交点，这是唯一的结论。命题提出了半圆与切线所成的角小于任意锐角，但这个角﹝他们叫牛头角﹞的含义却不太明确。
阿波罗尼奥斯定义圆锥曲线的切线为『与圆锥曲线有一公共点且全在圆锥曲线之外的直线』。这种切线定义对圆锥曲线一类的曲线已足够，但已不适用于较复杂的曲线。
关于切线的定义及求法于十七世纪初提出了三种方法。笛卡儿于1637年提出解析几何方法。法国数学家罗伯瓦﹝1602─1675﹞从运动角度出发，把曲线看成一个动点的轨迹，并于1634年定义曲线的切线为『合速度方向的直线』。这种定义适用于许多旧切线定义不适用的曲线。可是数学家们并不乐于接受这用了物理概念的切线定义。而且，它并不适用于不能以运动表示的曲线。
费马巴鲁﹝Barrow, I.，1630─1667﹞等人则从几何角度出发，把切线看成两交点重合时的割线。这定义除当时尚无严格的极限概念外，则已相近于现在的定义。至1639年，法国数学家笛沙格﹝Desargues, G.，1591─1661﹞于其著作中把切线明确地看为割线的极限。
这两种对于切线定义的不同角度思考，正是牛顿及莱布尼兹的流数术与微分法思路。故此，切线问题的研究为微积分的创立作了具体的准备。现在，切线已定义为过曲线上定点的割线的极限位置。
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