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分类讨论
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8月31日
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日常生活中，人们经常会遇到一些十分棘手的问题。面对这类问题，有些人常显得手足无措。实际上，只要同学们肯动脑筋、想办法，问题总是可以得到解决的。这其中，分类讨论就不失为一种有效的方法。
分类讨论是指同学们解决一个复杂问题时，应将讨论的对象分成若干相对简单的情况，然后对各种情况逐个讨论，最终使整个问题得以解决。分类的一般原则是不重不漏，特别是不能遗漏所讨论问题的各种情形。比如关于整数问题，最常用的是分成奇数和偶数，有时为了需要可以按照n分类讨论。
比如，设a、b、c是三个互不相等的正整数。求证：在a3b-ab3、b3c-bc3、c3a-ca3三个数中，至少有一个数能被30整除。
由于a3b-ab3=ab(a-b)(a+b)，b3c-bc3=bc(b-c)(b+c)，c3a-ca3=ca(c-a)(c+a)，所以若a、b、c均为奇数，则由a+b、b+c、c+a为偶数得a3b-ab3、b3c-bc3、c3a-ca3均为偶数；若a、b、c中只有一个偶数，比如a为偶数，则由ab、b+c、ca为偶数得a3b-ab3、b3c-bc3、c3a-ca3均为偶数；若a、b、c中有两个偶数，比如a、b为偶数，则由ab、bc、ca为偶数得a3b-ab3、b3c-bc3、c3a-ca3均为偶数。
若a、b中有一个为3的倍数，则3| a3b-ab3；若a、b被3除同余1或2，则3|a-b，
从而3| a3b-ab3；若a、b被3除分别余1和2，则3|a+b，从而3| a3b-ab3。同理可
证b3c-bc3、c3a-ca3是3的倍数。
最后证明a3b-ab3、b3c-bc3、c3a-ca3中至少有一个能被5整除，从而由2、3、5两两互质得这三个数中至少有一个能被30整除：若a、b、c中有一个是5的倍数，则命题已证，下面设a、b、c均不是5的倍数，则a3、b3、c3被5除所得余数为1或4，于是必有两个数比如a3、b3被5除余数相同，从而这两个数之差a3b-ab3是5的倍数，即a3b-ab3被5整除。
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