三角函数公式推导过程

　　三角函数是高中数学的重要内容之一,也是培养和锻炼学生数学思维的最好素材，怎么推导得来的呢？本文是小编整理三角函数公式推导过程，仅供参考。

　　三角函数公式推导过程

　　万能公式推导

　　sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，

　　(因为cos^2(α)+sin^2(α)=1)

　　再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))

　　然后用α/2代替α即可。

　　同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

　　三倍角公式推导

　　tan3α=sin3α/cos3α

　　=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

　　=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)

　　上下同除以cos^3(α)，得：

　　tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

　　sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

　　=2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα

　　=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)

　　=3sinα-4sin^3(α)

　　cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα

　　=(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)

　　=2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))

　　=4cos^3(α)-3cosα

　　即

　　sin3α=3sinα-4sin^3(α)

　　cos3α=4cos^3(α)-3cosα

　　和差化积公式推导

　　首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

　　我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

　　所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

　　同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

　　同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

　　所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

　　所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

　　同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

　　这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

　　sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

　　cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

　　cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

　　sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

　　好,有了积化和差的'四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.

　　我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

　　把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

　　sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

　　sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

　　cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

　　cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

　　怎样推导三角函数公式

　　三角函数公式最基本的只有两个：

　　sin(α+/-β)=sinα cosβ +/- cosα sinβ

　　cos(α+/-β)=cosα cosβ -/+ sinα sinβ

　　这两个公式当然可以证明,而且数学课本上应该有证明.

　　其他的所有公式,包括和差倍半、诱导公式、和差化积、积化和差,全部都是这两个公式的衍生品.

　　仅举一例：

　　tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)=(sinα cosβ + cosα sinβ)/(cosα cosβ - sinα sinβ)=(tanα + tanβ)/(1 - tanα tanβ)(上下同除cosα cosβ).

　　这两个公式就是那一大堆公式的牛鼻子,记牢了就行了.至于剩下的,能记住,做题省点时间;记不住,拿这两个现场推.当然,要想拿这两个去推诱导公式的话,90°、180°、270°那些角的函数值得自己记住.

　　记住两个,总比一下要记二十几个容易得多.

　　三角函数所有公式的推导过程

　　两角和公式

　　sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

　　sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

　　cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

　　cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

　　tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

　　tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

　　cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

　　cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

　　倍角公式

　　tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]

　　cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2

　　sin2A=2sinA*cosA

　　三倍角公式

　　sin3a=3sina-4(sina)^3

　　cos3a=4(cosa)^3-3cosa

　　tan3a=tana*tan(π/3+a)*tan(π/3-a)

　　半角公式

　　sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

　　cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

　　tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

　　cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)

　　和差化积

　　2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)

　　2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) )

　　2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)

　　-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

　　sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2

　　cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

　　积化和差公式

　　sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]

　　cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]

　　sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]

　　诱导公式

　　sin(-a)=-sin(a)

　　cos(-a)=cos(a)

　　sin(pi/2-a)=cos(a)

　　cos(pi/2-a)=sin(a)

　　sin(pi/2+a)=cos(a)

　　cos(pi/2+a)=-sin(a)

　　sin(pi-a)=sin(a)

　　cos(pi-a)=-cos(a)

　　sin(pi+a)=-sin(a)

　　cos(pi+a)=-cos(a)

　　tgA=tanA=sinA/cosA

　　万能公式

　　sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))

　　cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))

　　tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))

　　其它公式

　　a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a]

　　a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b]

　　1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2

　　1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2

　　其他非重点三角函数

　　csc(a)=1/sin(a)

　　sec(a)=1/cos(a)

　　双曲函数

　　sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2

　　cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2

　　tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)

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