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数学平角和直线的知识点

时间:2021-07-28 08:02:37 数学 我要投稿

关于数学平角和直线的知识点

  “平角”和“直线”

关于数学平角和直线的知识点

  射线OA绕点O旋转,当终止位置OC和起始位置OA成一直线时,所成的角叫做平角,如图1。

  平角的大小为180°。

  由于平角的两边成一条直线(图2),如果不附加某种特殊的标志,那么平角的图形很容易与直线(图3)的图形混淆。

  为了避免这种混淆,我们在角的内部,围绕角的顶点画一条小圆弧,并注上箭头(图4),∠AOB就表示一个平角。这样就可以把平角的图形和直线的图形区别开来了。

  与“平角”和“直线”这对容易混淆的概念类似的,还有“周角”与“射线”这对概念。

  什么是周角?射线OA绕点O旋转,当终止位置与起始位置重合时,所形成的角叫做周角。这时周角的两边互相重合,成为一条射线。

  为了使周角的图形与射线的图形区分开来,我们以O为圆心画一个小圆,并用箭头表示旋转方向,如图5。

  易混概念辨析 直角和90°

  “直角”和“90°”

  老师问同学:“什么是直角?”

  有的同学回答:“直角就是90°。”

  这样回答对吗?不对。“直角”和“90°”有着本质的区别。我们先举一个通俗的例子:

  张强的体重是50千克。张强是个人,50千克是他的体重,不能把张强这个人和他的体重50千克两个不同的概念等同起来。

  直角是一个图形,它是平角的一半。“90°”是一个量,它表示“直角”的大小。不能把一个图形和这个图形的大小这两个不同的概念混淆起来。因此,正确回答“什么是直角”应该是“直角是平角的一半”或“90°的角是直角”。

  长江大桥上急驶而过的火车与桥下航行的一艘轮船运动的轨迹,可以理解为两条直线,这是两条互相垂直的异面直线,它们所成的角是90°。不能把“两条互相垂直的异面直线”和“90°”混为一谈。

  电线杆与地面垂直,可以理解为一直线垂直于一平面,它们所成的角也是90°。不能把“一直线垂直于一平面”和“90°”混为一谈。

  墙壁和地面垂直,是互相垂直的两个平面,它们所成的角仍然是90°。不能把“互相垂直的两个平面”与“90°”相混淆。

  由此可见,直角、互相垂直的二平面,这些都是图形,它们的大小皆为90°,这是一个量。这里,“90°”和有关图形的区别是十分明显的。

  与“直角”和“90°”这对容易混淆的概念类似的,“连结两点的线段”和“两点的距离”也是一对容易混淆的概念。前者表示线段AB,它是一个图形。后者表示这条线段的长,它是一个量。

  作为练习,请同学们回答:

  什么叫平角,平角有多大?

  什么叫周角,周角有多大?

  什么叫半圆内的圆周角?半圆内的圆周角有多大?

  易混概念辨析 几何体和物体

  “几何体”和“物体”

  在我们的现实生活中,存在着各种各样的物体

  篮球,足球,排球……

  梨子,橘子,苹果,香蕉……

  自来水管,电线杆,笔杆……

  冰箱,衣柜,金字塔,河堤……

  各式各样的建筑物;

  ……

  物体有各种性质:

  轻重,软硬,颜色,导电性……这些是物理性质;

  组成的元素,氧化、还原性,溶解性……这些是化学性质;

  异化作用,新陈代谢,光合作用,呼吸作用……这些是生物性质;

  形状,位置,大小,这些是物体的几何性质。

  只研究物体的形状、位置和大小,而不研究它们的物理性质、化学性质、生物性质……这样抽象出来的物体的表象就叫几何体。例如,同样大小的铅球和木球,它们的物理性质不同,化学性质不同,但它们的形状、大小完全相同,因此,它们是完全相同的几何体。

  整个几何学所研究的内容,就是各种各样几何图形的形状、位置和大小关系。例如,在下面这段叙述中:

  “在直线l上,自A点起,截取线段AB=a。”

  “在直线l上”表示所作图形的位置;“线段”说明所作图形的形状;“AB=a”表示这个图形的大小。

  又如“以O点为圆心,r为半径画圆”。其中“以O点为圆心”表示所画图形的位置;“以r为半径”表示所画图形的大小;“圆”表示所画图形的形状。

  再如“到空间一定点O距离小于或等于定长r点的轨迹,是以定点O为球心、半径为r的球”。这里“定点O”是说明图形的位置,“小于或等于定长r”是说明图形的大小,“球”是说明图形的形状。

  易混概念辨析 互斥事件和互逆事件

  “互斥事件”和“互逆事件”

  世界上很多事情是互相排斥的:有甲便无乙,有乙便无甲,二者不可兼而有之。例如,“明天中午南京天气晴朗”与“明天中午南京天阴”这两个预断就是互相排斥的,因为明天中午南京的天气不可能既是晴天又是阴天,不可能在同一时间、同一地点出现又是晴天又是阴天的情形。又如,“两球外切”与“两球相离”也是互相排斥的,因为当两球球心与半径一定后,既然它们的位置关系是外切,就不会同时又相离。

  如果两个事件A与B不能同时发生,我们就称A与B为互斥事件,或称为互不相容的事件,用符号AB=V表示。上面所讲“明天中午南京天气晴朗”与“明天中午南京天阴”就是互斥事件,“两球外切”与“两球相离”也是互斥事件。

  工厂检查一件产品,“产品合格”与“产品不合格”是截然相反的两件事,对于某一件产品而言,二者必居其一,且不可兼而有之。也就是说,这件产品要么合格,要么不合格,不可能既合格又不合格。某同学参加一次数学竞赛,不是获胜就是失败,不可能既是优胜者,又是失败者。

  我们把事件A与事件“非A”叫做互逆事件,又称为对立事件。

  事件“非A”通常用表示,叫做A的逆事件。显然,在每一次实践中,A与不可能同时发生,又二者必居其一。事件A与B为互逆事件用下列两个等式表示:AB=V,A∪B=U(意即“A与B至少发生其一”)。上面所讲“产品合格”与“产品不合格”,“获胜”与“失败”,都是互逆事件。

  互斥事件与互逆事件是概率计算中需要用到的一对概念,在实际中是很有用处的。

  可以看出,互逆事件必为互斥事件。如“这件产品是合格的”与“这件产品不合格”不可能同时出现,所以它们是互逆的,也是互斥的。但是互斥事件则未必为互逆事件。如“晴朗’与“阴天”是互斥的,但不是互逆的。因为,不是说天气“不晴朗”就一定是“阴天”。天气不晴朗,可能是下雨、下雪。又如“两球外切”与“两球相离”是互斥的,但也不是互逆的。因为,不能说“两球不外切”,就一定是两球相离。两球不外切,还可能内切,内含,相交。

  所以互逆事件是互斥事件的特例,互斥事件是互逆事件的.一般形式。

  易混概念辨析 余子式和代数余子式

  “余子式”和“代数余子式”

  行列式是解线性方程组的有力工具。但是,行列式的展开,对于二阶、三阶行列式来说还比较方便,而对于高于三阶行列式的展开,则没有一般规律可循。这时,把高阶行列式降阶,使它转化为较低阶的行列式,则是一条可行的道路。“余子式”和“代数余子式”就是适应这种需要而产生的。

  把行列式中某一元素所在的行与列划去后,剩下的元素按行列顺序排列所组成的行列式,叫做原行列式中对应于这个元素的余子式

  例如,在行列式

  中,对应于元素a2的余子式为

  设行列式中某一元素位于第i行第j列,把对应于这个元素的余子式乘上(-1)i+j后,所得到的式子叫做原行列式中对应于这个元素的代数余子式。

  例如,在上面的行列式D中,元素a2位于第二行第一列,即i=2,j=1,则i+j=2+1=3。

  所以,对应于a2的代数余子式为

  即

  下面举一个例子,帮助大家掌握余子式和代数余子式的概念。

  例:已知行列式

  求行列式中元素-5的余子式与代数余子式。

  解:-5的余子式为:

  -5的代数余子式为:

  有了余子式和代数余子式的概念,根据下述定理,我们就可以展开任意一个行列式。

  定理:行列式等于它的任意一行(或一列)的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积的和。

  下面我们举一个例子,说明如何用这个定理展开一个行列式,从而降阶求值。

  例:把行列式

  按第一行展开,然后进行计算。

  易混概念辨析 每一个和有一个

  “每一个”和“有一个”

  数学是研究数量关系的科学。在数学里,对数量用词要予以特别谨慎。“每一个”和“有一个”,两者仅一字之差,但意义完全不同。

  如果对所讨论对象每一个元素都下了判断,那么这样的命题叫做“全称命题”。“每一个”就是一种全称量词。全称量词还常与副词“都”联用。如“对顶角都相等”,就是“每一对对顶角都是相等的”。在数学中,常会遇到全称命题。

  例如,对于函数y=f(x),若对每一个x,都有

  f(-x)=-f(x)

  我们就把函数y=f(x)称为奇函数。

  又如,对于数列{an},若对于每一个自然数n,都有

  an<an+1

  则称数列{an}为递增数列。

  要证明一个全称命题为真,主要有两种思路:

  第一种是用完全归纳法,包括数学归纳法;

  第二种是在所讨论的对象中,挑出一个具有充分代表性的元素,然后证明它有某种性质。由于这一个具有代表性的元素有某种性质,所以所讨论对象里每一个元素也都有这一性质。

  例1:从A、B、C、D、E、F六个人中选三人。(1)A、B都选;(2)A、B都不选;(3)A、B不都选。三种情形各有几种选法?

  解:(1)因为共选三人,A、B都要选,只要再选一人就可以了。而这一人只能从C、D、E、F四人中选。所以有即4种方法。

  (2)A、B都不选,那么只能从余下的四人中选三人,所以有即4种方法。

  (3)A、B不都选,有三种可能:

  “有一个”叫特称量词。特称量词还可以表示为“有”、“存在着”、“存在一个”、“至少存在一个”。

  易混概念辨析 排列数和一个排列

  “排列数”和“一个排列”

  “一个排列”指的是“从n个不同元素中,任取出m个元素,按照一定的顺序摆成一排”,它不是一个数,而是具体的一件事。

  “排列数”是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”,它是一个数。

  例如,从3个元素a、b、c中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一排,有如下几种:

  ab,ac,ba,bc,ca,cb

  其中每一种都叫做一个排列,共有6种,而数字6就是排列数,符号表示排列数。

  与此类似的,要区分“组合数”和“一个组合”这两个概念。

  “一个组合”是指“从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组”,它不是一个数,而是具体的一件事;组合数是指从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数,它是一个数。

  例如,从3个元素a、b、c中每次取出2个元素的组合为

  ab,ac,bc

  其中每一种都叫做一个组合,共有3种,而数字3就是组合数,符号表示组合数。

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