小学奥数高难度棋盘问题解析

　　先说明一下，虽然陈述本题时使用棋盘及棋子加以说明，实际你只须用1张方格纸、1支笔，还有有关国际象棋走法的基本知识就可以开始着手走棋了。

　　车的走法

　　车只可向前、后、左、右移动，可经过棋盘上的每一格一次再回到出发点，而形成一循环回路。图1、图2为符合此条件的两条路径。

　　请问当形成循环回路时最少的方向改变数为多少次?

　　如果车经过棋盘上的每一格一次而不需再回到原出发点以形成一非循环回路，此时最少的方向改变数为14。你能发现此一路径吗?

　　有没有可能车从棋盘上的一个角落出发，经过棋盘上的每一格一次而在对角的角落上停下来呢?

　　王后的走法

　　王后的走法是既可对角移动，也可像车一样前、后、左、右移动，所以她的变化较多。图3显示王后走法的一个例子。该路径为一对称形态，且在一角落上开始而终止于另一角落。图4所显示的路径为一循环回路，但不对称。

　　想想看，王后有没有可能形成对称的'循环回路呢?

　　如果王后可经过棋盘上的每一格多次，则可能在棋盘上形成一条通过每一格的循环回路，且只需13次改变方向。你能发现此一路径吗?

　　图5显示的王后路径有一个很诱人的性质，也就是如果将王后走过的每一方格加以连续编号，图中标示S的方格为1，则这些数字将组成一魔术方块。有兴趣的话可以试试看。

　　象的走法

　　象的走法是对角移动，如果他从图中黑色方格出发的话，也只能移动到另一黑色方格，他没有办法在不重复进入一方格的条件下经过图中所有黑色方格。为什么呢?

　　图6的路径中遗漏了6个黑方格。你能找出更好的路径吗?

　　如果象可重复进入一方格的话，那就有可能从棋盘上的一个角落出发，终止于对角的方格上。该如何走呢?

　　解答与分析

　　走一条一循环回路至少需改变15次方向，请参见图1。走一非循环回路至少需改变14次方向才可完成，参见图2。

　　不可能使得车从棋盘上的一个角落出发，经过棋盘上的每一格一次而在对角的角落上停下。将一车从左上角移到右上角，必须向右及向上各移7格。所以总共移动了14格。任一路径其向左移动的格数必定与向右移动的格数相平衡，而向上移动的格数也必定与向下移动的格数相平衡，因此要移到右上角的方格时，所走过的方格数必须为偶数，但是完成该项路径时，只需移动63步。由此可知两项推论相矛盾，所以不可能产生此条路径。

　　如果车从棋盘上的左下角出发，然后经过棋盘上的每一格一次，那它可能在哪一个方块上停下来呢?

　　车所能执行的任何路径，王后也必定能达到，所以在此我们感兴趣的是含有对角移动的路径。对称循环回路较好的例子为王后的魔术路径，图3为四重转动对称的循环回路。

　　图4为王后可经过棋盘上的每一格多次，且在棋盘上形成一条通过每一格的循环回路，其中只有13次的方向改变。

　　象的走法

　　如果象从图中黑色方块出发的话，能走过所有黑色方块的路径，必定以黑色方块为起点及终点。

　　假设此种路径由图5中标示1的方块开始，随后象走到方块2，此后他只能在方块3及4之中做一选择。假设象走到方块3，那么整个路径必定终止于方块4，因为方块4对外连接的路径只有一条——经过方块5，所以进入之后就无法再出来了。但是本题的要求是终止于对角的方块上，因此由上面的推论可知不可能产生这样一条的路径。

　　如果象不可重复进入一方块的话，那最多可走过29个黑色方块。你再怎么试总是有3个黑色方块无法进入。图6显示其中的一组解。

　　在可重复进入一方块的条件下，走过所有方块的最有效路径中。

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