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因式分解的数学方法

时间:2021-06-25 12:52:26 数学 我要投稿
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因式分解的数学方法

  要想能在综合性较强的几何题目中能灵活应用,就必须要熟记啦。因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。小编为大家整理了数学公式:因式分解的方法,方便大家查阅学习。

因式分解的数学方法

  一、换元法

  有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来,这种方法叫做换元法。注意:换元后勿忘还元.

  【例】在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时,可以令y=x^2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x^2+x+5)(x^2+x-2)=(x^2+x+5)(x+2)(x-1).

  二、运用公式法

  如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫运用公式法。

  ① 平方差公式:a-b=(a+b)(a-b);

  ② 完全平方公式:a±2ab+b=(a±b) ;

  注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

  ③ 立方和公式:a^3+b^3=(a+b)(a-ab+b);

  ④ 立方差公式:a^3-b^3=(a-b)(a+ab+b);

  ⑤ 完全立方公式:a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.

  【例】a+4ab+4b =(a+2b)

  三、分组分解法

  把一个多项式适当分组后,再进行分解因式的方法叫做分组分解法。用分组分解法时,一定要想想分组后能否继续完成因式分解,由此选择合理选择分组的方法,即分组后,可以直接提公因式或运用公式。

  【例】m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n = (m-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n).

  四、拆项、补项法

  这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

  【例】bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b).

  五、配方法

  对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解,这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

  【例】x+3x-40=x+3x+2.25-42.25=(x+1.5)-(6.5)=(x+8)(x-5).

  六、十字相乘法

  这种方法有两种情况:

  ① x+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

  这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和。因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .

  ② kx+mx+n型的式子的因式分解

  如果如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么kx+mx+n=(ax+b)(cx+d).

  图示如下:

  a b

  ×

  c d

  例如:因为

  1 -3

  ×

  7 2

  且2-21=-19, 所以7x-19x-6=(7x+2)(x-3).

  多项式因式分解的一般步骤>>

  ① 如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;

  ② 如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;

  ③ 如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解;

  ④ 分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

  也可以用一句话来概括:“先看有无公因式,再看能否套公式。十字相乘试一试,分组分解要合适。”

  【例题】

  1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2.

  解:原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

  =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

  =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2

  =[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]

  =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)

  =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]

  =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y).

  2.求证:对于任何实数x,y,下式的值都不会为33:x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5.

  解:原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

  =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

  =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

  =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

  =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y).

  当y=0时,原式=x^5不等于33;当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立。

  3.△ABC的三边a、b、c有如下关系式:-c^2+a^2+2ab-2bc=0,求证:这个三角形是等腰三角形。

  解:此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。证明:∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0,∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0.∴(a-c)(a+2b+c)=0.∵a、b、c是△ABC的三条边,∴a+2b+c>0.∴a-c=0,即a=c,△ABC为等腰三角形。

  4.把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。

  解:-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1).

  七、应用因式定理

  对于多项式f(x)=0,如果f(a)=0,那么f(x)必含有因式x-a.

  【例】f(x)=x^2+5x+6,f(-2)=0,则可确定x+2是x^2+5x+6的一个因式。(事实上,x^2+5x+6=(x+2)(x+3).)

  八、提公因式法

  各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。

  具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的`。如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时,多项式的各项都要变号。

  【例】①-am+bm+cm=-m(a-b-c)②a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)

  九、求根法

  令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,……xn,则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) .

  【例】在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时,令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0,则通过综合除法可知,该方程的根为0.5 ,-3,-2,1.所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1).

  令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,…xn ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)… (x-xn).与方法九相比,能避开解方程的繁琐,但是不够准确。

  【例】在分解x^3 +2x^2 -5x-6时,可以令y=x^3 +2x^2 -5x-6.作出其图像,与x轴交点为-3,-1,2 ,则x^3 +2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2).

  十、双十字相乘法

  双十字相乘法属于因式分解的一类,类似于十字相乘法。用一道例题来说明如何使用。

  【例】分解因式:x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12.

  解:这是一个二次六项式,可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。

  x 2y 2

  ① ② ③

  x 3y 6

  ∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6).

  双十字相乘法其步骤为>>

  ① 先用十字相乘法分解2次项,如十字相乘图①中X^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y);

  ② 先依一个字母(如y)的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y^2+18y+12=(2y+2)(3y+6);

  ③ 再按另一个字母(如x)的一次系数进行检验,如十字相乘图③,这一步不能省,否则容易出错。

  十一、主元法

  先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。

  十二、特殊值法

  将2或10代入x,求出数p,将数p分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。

  【例】在分解x^3+9x^2+23x+15时,令x=2,则x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105,将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 .

  注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值,则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5),验证后的确如此。

  十三、待定系数法

  首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。

  【例】在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时,由分析可知:这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。

  于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd,由此可得a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4.解得a=1,b=1,c=-2,d=-4.则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4).

  通过以上数学公式:因式分解的方法的学习后,想必同学们的学习会更进一步,如想了解更多请继续关注数学网。

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