数学因式分解的方法

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数学因式分解的方法

　　要想能在综合性较强的几何题目中能灵活应用，就必须要熟记啦。因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。小编为大家整理了数学公式：因式分解的方法，希望能够对大家有所帮助！

数学因式分解的方法

　　数学因式分解的方法：

　　一、换元法

　　有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意:换元后勿忘还元.

　　【例】在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x^2+x+5)(x^2+x-2)=(x^2+x+5)(x+2)(x-1).

　　二、运用公式法

　　如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。

　　① 平方差公式：a-b=(a+b)(a-b);

　　② 完全平方公式：a±2ab+b=(a±b) ;

　　注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

　　③ 立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a-ab+b);

　　④ 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a+ab+b);

　　⑤ 完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.

　　【例】a+4ab+4b =(a+2b)

　　三、分组分解法

　　把一个多项式适当分组后，再进行分解因式的方法叫做分组分解法。用分组分解法时，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此选择合理选择分组的方法，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。

　　【例】m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n = (m-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n).

　　四、拆项、补项法

　　这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

　　【例】bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b).

　　五、配方法

　　对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

　　【例】x+3x-40=x+3x+2.25-42.25=(x+1.5)-(6.5)=(x+8)(x-5).

　　六、十字相乘法

　　这种方法有两种情况：

　　① x+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .

　　② kx+mx+n型的式子的因式分解

　　如果如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx+mx+n=(ax+b)(cx+d).

　　a b×c d

　　例如：因为

　　1 -3×7 2

　　且2-21=-19，所以7x-19x-6=(7x+2)(x-3).

　　多项式因式分解的一般步骤>>

　　① 如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式;

　　② 如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;

　　③ 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解;

　　④ 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

　　也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。”

　　【例题】

　　1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2.

　　解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2

　　=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]

　　=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)

　　=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]

　　=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y).

　　2.求证：对于任何实数x,y，下式的值都不会为33：x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5.

　　解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

　　=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

　　=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

　　=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

　　=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y).

　　当y=0时，原式=x^5不等于33;当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。

　　3.△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。

　　解：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0.∴(a-c)(a+2b+c)=0.∵a、b、c是△ABC的三条边，∴a+2b+c>0.∴a-c=0，即a=c，△ABC为等腰三角形。

　　4.把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。

　　解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1).

　　七、应用因式定理

　　对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a.

　　【例】f(x)=x^2+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x^2+5x+6的一个因式。(事实上，x^2+5x+6=(x+2)(x+3).)

　　八、提公因式法

　　各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

　　具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式，多项式的次数取最低的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

　　【例】①-am+bm+cm=-m(a-b-c)②a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)

　　九、求根法

　　令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，……xn，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) .

　　【例】在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0，则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1.所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1).

　　令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,…xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)… (x-xn).与方法九相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。

　　【例】在分解x^3 +2x^2 -5x-6时，可以令y=x^3 +2x^2 -5x-6.作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2 ，则x^3 +2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2).

　　十、双十字相乘法

　　双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。用一道例题来说明如何使用。

　　【例】分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12.

　　解：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。

　　x 2y 2

　　① ② ③

　　x 3y 6

　　∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6).

　　双十字相乘法其步骤为>>

　　① 先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中X^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y);

　　② 先依一个字母(如y)的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y^2+18y+12=(2y+2)(3y+6);

　　③ 再按另一个字母(如x)的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。

　　十一、主元法

　　先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

　　十二、特殊值法

　　将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

　　【例】在分解x^3+9x^2+23x+15时，令x=2，则x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105，将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 .

　　注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。

　　十三、待定系数法

　　首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

　　【例】在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

　　于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd，由此可得a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4.解得a=1，b=1，c=-2，d=-4.则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4).

　　通过以上数学公式：因式分解的方法的学习后，想必同学们的学习会更进一步，如想了解更多请继续关注数学网。

　　因式分解的方法

　　注意三原则

　　1.分解要彻底(是否有公因式，是否可用公式)

　　2.最后结果只有小括号

　　3.最后结果中多项式首项系数为正(例如：-3x^2+x=x(-3x+1))

　　4.最后结果每一项都为最简因式

　　归纳方法：

　　1.提公因式法。

　　2.公式法。

　　3.分组分解法。

　　4.凑数法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]

　　5.组合分解法。

　　6.十字相乘法。

　　7.双十字相乘法。

　　8.配方法。

　　9.拆项补项法。

　　10.换元法。

　　11.长除法。

　　12.求根法。

　　13.图象法。

　　14.主元法。

　　15.待定系数法。

　　16.特殊值法。

　　17.因式定理法。

　　基本方法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式。

　　如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式

　　具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

　　口诀：找准公因式，一次要提尽全家都搬走，留1把家守提负要变号，变形看奇偶。

　　例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)m

　　a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。

　　注意：把2a+1/2变成2(a+1/4)不叫提公因式

　　如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

　　平方差公式: (a+b)(a-b)=a^2-b^2,反过来为a^2-b^2=(a+b)(a-b)

　　完全平方公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,反过来为a^2+2ab+b^2=(a+b)^2

　　(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 a^2-2ab+b^2=(a-b)^2

　　注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

　　两根式：ax^2+bx+c=a[x-(-b+√(b^2-4ac))/2a][x-(-b-√(b^2-4ac))/2a]

　　立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

　　立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

　　完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.

　　公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

　　例如：a^2+4ab+4b^2 =(a+2b)^2。

　　1.分解因式技巧掌握：

　　①分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式

　　②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示

　　③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数

　　④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

　　注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

　　2.提公因式法基本步骤：

　　(1)找出公因式

　　(2)提公因式并确定另一个因式：

　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母

　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式

　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

　　知识要领总结：在竞赛上，有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。

　　初中数学知识点总结：平面直角坐标系

　　下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

　　平面直角坐标系

　　平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

　　水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

　　平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合

　　三个规定：

　　①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向

　　②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

　　③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

　　相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

　　初中数学知识点：平面直角坐标系的构成

　　对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。

　　平面直角坐标系的构成

　　在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

　　通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。

　　初中数学知识点：点的坐标的性质

　　下面是对数学中点的坐标的性质知识学习，同学们认真看看哦。

　　点的坐标的性质

　　建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。

　　对于平面内任意一点C，过点C分别向Ｘ轴、Ｙ轴作垂线，垂足在Ｘ轴、Ｙ轴上的对应点a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）叫做点C的坐标。

　　一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样。

　　希望上面对点的坐标的性质知识讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会在考试中取得优异成绩的。

　　初中数学知识点：因式分解的一般步骤

　　关于数学中因式分解的一般步骤内容学习，我们做下面的知识讲解。

　　因式分解的一般步骤

　　如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，

　　通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。

　　注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。

　　相信上面对因式分解的一般步骤知识的内容讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们会考出好成绩。

　　初中数学知识点：因式分解

　　下面是对数学中因式分解内容的知识讲解，希望同学们认真学习。

　　因式分解

　　因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。

　　因式分解要素：①结果必须是整式②结果必须是积的形式③结果是等式④因式分解与整式乘法的关系：m(a+b+c)

　　公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。

　　公因式确定方法：①系数是整数时取各项最大公约数。②相同字母取最低次幂③系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。

　　提取公因式步骤：

　　①确定公因式。②确定商式③公因式与商式写成积的形式。

　　分解因式注意；

　　①不准丢字母

　　②不准丢常数项注意查项数

　　③双重括号化成单括号

　　④结果按数单字母单项式多项式顺序排列

　　⑤相同因式写成幂的形式

　　⑥首项负号放括号外

　　⑦括号内同类项合并。

　　通过上面对因式分解内容知识的讲解学习，相信同学们已经能很好的掌握了吧，希望上面的内容给同学们的学习很好的帮助。

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