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数学思维与解题方法

时间:2021-06-25 10:55:05 数学 我要投稿

数学思维与解题方法

  做任何事情都要讲究方法。方法对头,事半功倍;方法不当,事倍功半。解答数学问题,关键也在于掌握思考问题的方法,少走弯路,以尽快获得满意的答案。下面是小编整理的数学思维与解题方法,欢迎阅读!

数学思维与解题方法

  一、分析法与综合法

  分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中,分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说,分析法表现为执果索因,综合法表现为由果导因,它们是寻求解题思路的两种基本思考方法,应用十分广泛。为便于读者熟练地掌握这两种方法,从而获得希望成功的解题思路,现举例说明如下。

  例1.设a、b是两个正实数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.

  证明:(用分析法思路书写)

  要证 a3+b3>a2b+ab2成立,

  只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立,

  即需证a2-ab+b2>ab成立。(∵a+b>0)

  只需证a2-2ab+b2>0成立,

  即需证(a-b)2>0成立。

  而由已知条件可知,a≠b,有a-b≠0,所以(a-b)2>0显然成立,由此命题得证。

  (以下用综合法思路书写)

  ∵a≠b,∴a-b≠0,∴(a-b)2>0,即a2-2ab+b2>0

  亦即a2-ab+b2>ab

  由题设条件知,a+b>0,∴(a+b)(a2-ab+b2)>(a+b)ab

  即a3+b3>a2b+ab2,由此命题得证。

  从例1容易看出,分析法的特点是:从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理实际上是要寻找它的充分条件。综合法的特点是:从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理实际上是要寻找它的必要条件。

  从例1也不难发现,分析法和综合法各有其优缺点:从寻求解题思路来看,分析法执果索因,常常根底渐近,有希望成功;综合法由因导果,往往枝节横生,不容易奏效。从表达过程而论,分析法叙述繁锁,文辞冗长;综合法形式简洁,条理清晰。也就是说,分析法利于思考,综合法宜于表达。因此,在实际解题时,常常把这两种方法结合起来使用:先以分析法为主寻求解题思路;再用综合法有条理地表达解题过程。请再看下面的例子。

  思考方法:先从待证结论出发(用分析法),结论左边是两个算术根之和,稍作观察便可发现,根号内的代数式都是完全平方式,所以要证明结论成立,只要证明│a-2│+│a-b│=4就可以了。于是,解题的.关键在于确定a的取值范围,以去掉绝对值符号。再从已知条件来想(用综合法),已知a为实数,关于x的二次方程没有实数根,则其根的判别式△<0,由此便可探明a的取值范围,这样,和上面的分析联系起来,原题便可解出。简证如下:

  证明:∵已知的关于x的二次方程无实根,

  ∴判别式△=(-2a)2-4·4·(2a-3)<0

  整理,得a2-8a+12<0

  于是,解得2<a<6

  ∴欲证的恒等式左边=│a-2│+│a-6│

  =(a-2)+(6-a)=4=右边

  ∴命题得证

  下面请读者试着练习:

  2、已知二次方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两根分别在0~1和1~2内(不包括0,1,2这三个数),求k的范围。

  (提示:联系二次函数图象的特征,可有:当然x=0或2时,方程左边大于0;当x=1时,方程左边小于0)

  二、变更问题法

  解答数学题,实质上就是通过由因导果或执果索因,确立题中条件与问题或条件与结论逻辑上的必然联系,实现由已知向未知的转化。一般说来,对于结构比较简单的问题,通过适当地分析与综合就能找到合理的解题途径。但对于结构复杂、抽象多变的数学题,常常要从变更问题的角度,去探讨解题的思考方法。

  所谓变更问题,就是在直接求解原问题难以入手时,把原问题作适当的变更,造成一个或几个比原问题来得简单、难度较低、易于解答的新问题,以通过对新问题的考察,发现原问题的解题思路,最终达到解决原问题的目的。从某种意义上说,解答数学题的关键,就在于对原问题作一系列恰当的变更。

  变更问题,既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论,还可以同时变更问题的条件和结论。但是,变更问题必须注意数学题的特点,使变更后得到的新问题越熟悉越好(曾是解答过的问题),越简单越好(便于解答),越特殊越好(变成特殊情形的问题),越直观越好(抽象的问题直观化)等等。

  例1.不存在整数a,b,c满足a2+b2-8c=6

  思考方法:本题不大容易入手,如把式子a2+b2-8c=6变形为a2+b2=8c+6,则原题变更为:证明不存在整数a和b,使它们的平方和被8除余6,显然,变更后的问题便是我们利用整数性质易于证明的熟悉问题了,可对整数的四种形式:4n、4n+1,4n+2,4n+3(n为整数)逐一进行验证,以说明这四种形式中的任意两种形式的平方和都不能满足“被8除余6”。具体解题过程留给读者,请用综合法写出来。

  例2.m为何值时,关于x的二次方程2(m+1)x2-4mx+3(m-1)=0(1)至少有一正根?

  思考方法:至少有一个正根的情况比较复杂,可以分解为三个简单问题:一是有两个正根;二是有一正根、一负根;三是有一正根和一根为0,故原题由此易解。此题亦可这样来分析:方程(1)至少有一正根的反面,是有两负根,这样可先确定两负根时m的取值范围,而后解出原题。按后一种思路简解如下,前一种方法请读者完成。

  解:∵方程(1)有实根且为二次方程,

  ∴△=(-4m)2-4×2×3(m2-1)≥0且m+1≠0,

  假设方程(1)有两个负根,则有

  经解,上述不等式组无解,所以方程(1)不可能有两负根(假设不成立)

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