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小学应用题类型分类

2018-01-29 08:16:00 1190 1195

  应用题是指将所学知识应用到实际生活实践的题目。在数学上,应用题分两大类:一个是数学应用。另一个是实际应用。数学应用就是指单独的数量关系,构成的题目,没有涉及到真正实量的存在及关系。实际应用也就是有关于数学与生活题目。接下来小编为你带来小学应用题类型分类,希望对你有帮助。

小学应用题类型分类

  求平均数应用题是在“把一个数平均分成几份,求一份是多少”的简单应用题的基础上发展而成的。它的特征是已知几个不相等的数,在总数不变的条件下,通过移多补少,使它们完全相等。最后所求的相等数,就叫做这几个数的平均数。

  解答这类问题的关键,在于确定“总数量”和与总数量相对应的“总份数”。

  计算方法:

  总数量÷总份数=平均数

  平均数×总份数=总数量

  总数量÷平均数=总份数

  例1:东方小学六年级同学分两个组修补图书。第一组28人,平均每人修补图书15本;第二组22人,一共修补图书280本。全班平均每人修补图书多少本?

  要求全班平均每人修补图书多少本,需要知道全班修补图书的总本数和全班的总人数。

  (15×28+280)÷(28+22)=14本

  例2:有水果糖5千克,每千克2.4元;奶糖4千克,每千克3.2元;软糖11千克,每千克4.2元。将这些糖混合成什锦糖。这种糖每千克多少元?

  要求什锦糖每千克多少元,要先出这几种糖的总价和总重量最后求得平均数,即每千克什锦糖的价钱。

  (2.4×5+3.2×4+4.2×11)÷(5+4+11)=3.55元

  例3、要挖一条长1455米的水渠,已经挖了3天,平均每天挖285米,余下的每天挖300米。这条水渠平均每天挖多少米?

  已知水渠的总长度,平均每天挖多少米,就要先求出一共挖了多少天。

  1455÷(3+(1455-285×3)÷300)=291米

  例4、小华的期中考试成绩在外语成绩宣布前,他四门功课的平均分是90分。外语成绩宣布后,他的平均分数下降了2分。小华外语成绩是多少分?

  解法一:先求出四门功课的总分,再求出一门功课的的总分,然后求得外语成绩。

  (90–2)×5–90×4=80分

  例5、甲乙丙三人在银行存款,丙的存款是甲乙两人存款的平均数的1.5倍,甲乙两人存款的和是2400元。甲乙丙三人平均每人存款多少元?

  要求甲乙丙三人平均每人存款多少元,先要求得三人存款的总数。

  (2400÷2×1.5+2400)÷3=1400元

  例6、甲种酒每千克30元,乙种酒每千克24元。现在把甲种酒13千克与乙种酒8千克混合卖出,当剩余1千克时正好获得成本,每千克混合酒售价多少元?

  要求每千克混合酒售价多少元,要先求得两种酒的总价钱和两种酒的总千克数。因为当剩余1千克时正好获得成本,所以在总千克数中要减去1千克。

  (30×13+24×8)÷(13+8–1)=29.1元

  例7、甲乙丙三人各拿出相等的钱去买同样的图书。分配时,甲要22本,乙要23本,丙要30本。因此,丙还给甲13.5元,丙还要还给乙多少元?

  先求买来图书如果平均分,每人应得多少本,甲少得了多少本,从而求得每本图书多少元。

  1. 平均分,每人应得多少本

  (22+23+30)÷3=25本

  2. 甲少得了多少本

  25–22=3本

  3. 乙少得了多少本

  25–23=2本

  4. 每本图书多少元

  13.5÷3=4.5元

  5. 丙应还给乙多少元

  4.5×2=9元

  13.5÷[(22+23+30)÷3–22]×[(22+23+30)÷3–23]=9元

  例8、小荣家住山南,小方家住山北。山南的山路长269米,山北的路长370米。小荣从家里出发去小方家,上坡时每分钟走16米,下坡时每分钟走24米。求小荣往返一次的平均速度。

  在同样的路程中,由于是下坡的不同,去时的上坡,返回时变成了下坡;去时的下坡,回来时成了上坡,因此,所用的时间也不同。要求往返一次的平均速度,需要先求得往返的总路程和总时间。

  1、往返的总路程

  (260+370)×2=1260米

  2、往返的总时间

  (260+370) ÷16+(260+370)÷24=65.625分

  3、往返平均速度

  1260÷65.625=19.2米

  (260+370)×2÷[(260+370) ÷16+(260+370)÷24]=19.2米

  例9、草帽厂有两个草帽生产车间,上个月两个车间平均每人生产草帽185顶。已知第一车间有25人,平均每人生产203顶;第二车间平均每人生产草帽170顶,第二车间有多少人?

  解法一:

  可以用“移多补少获得平均数”的思路来思考。

  第一车间平均每人生产数比两个车间平均每人平均数多几顶?203–185=18顶;第一车间有25人,共比按两车间平均生产数计算多多少顶?18×25=450。将这450顶补给第二车间,使得第二车间平均每人生产数达到两个车间的总平均数。

  6. 第一车间平均每人生产数比两个车间平均顶数多几顶?

  203–185=18顶

  7. 第一车间共比按两车间平均数逆运算,多生产多少顶?

  18×25=450顶

  8. 第二车间平均每人生产数比两个车间平均顶数少几顶?

  185–170=15顶

  9. 第二车间有多少人、

  450÷15=30人

  (203–185) ×25÷(185–170) =30人

  例10、一辆汽车从甲地开往乙地,去时每小时行45千米,返回时每小时行60千米。往返一次共用了3.5小时。求往返的平均速度。(得数保留一位小数)

  解法一:

  要求往返的平均速度,要先求得往返的距离和往返的时间。

  去时每小时行45千米,1千米要 小时;返回时每小时行60千米,1千米要 小时。往返1千米要( + )小时,进而求得甲乙两地的距离。

  1、 甲乙两地的距离

  3.5÷( + )=90千米

  2、 往返平均速度

  90×2÷3.5≈52.4千米

  3.5÷( + )×2÷3.5≈52.4千米

  解法二:

  把甲乙两地的距离看作“1”。往返距离为2个“1”,即1×2=2。去时每千米需 小时,返回时需 小时,最后求得往返的平均速度。

  1÷( + )≈51.4千米

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  在解答某一类应用题时,先求出一份是多少(归一),然后再用这个单一量和题中的有关条件求出问题,这类应用题叫做归一应用题。

  归一,指的是解题思路。

  归一应用题的特点是先求出一份是多少。归一应用题有正归一应用题和反归一应用题。在求出一份是多少的基础上,再求出几份是多产,这类应用题叫做正归一应用题;在求出一份是多少的基础上,再求出有这样的几份,这类应用题叫做反归一应用题。

  根据“求一份是多少”的步骤的多少,归一应用题也可分为一次归一应用题,用一步就能求出“一份是多少”的归一应用题;两次归一应用题,用两步到处才能求出“一份是多少”的归一应用题。

  解答这类应用题的关键是求出一份的数量,它的计算方法:

  总数÷份数=一份的数

  例1、 24辆卡车一次能运货物192吨,现在增加同样的卡车6辆,一次能运货物多少吨?

  先求1辆卡车一次能运货物多少吨,再求增加6辆后,能运货物多少吨。

  这是一道正归一应用题。192÷24×(24+6)=240吨

  例2、 张师傅计划加工552个零件。前5天加工零件345个,照这样计算,这批零件还要几天加工完?

  这是一道反归一应用题。

  例3、 3台磨粉机4小时可以加工小麦2184千克。照这样计算,5台磨粉机6小时可加工小麦多少千克?

  这是一道两次正归一应用题。

  例4、 一个机械厂和4台机床4.5小时可以生产零件720个。照这样计算,再增加4台同样的机床生产1600个零件,需要多少小时?

  这是两次反归一应用题。要先求一台机床一小时可以生产零件多少个,再求需要多少小时。

  1600÷[720÷4÷4.5×(4+4)]=5小时

  例5、 一个修路队计划修路126米,原计划安排7个工人6天修完。后来又增加了54米的任务,并要求在6天完工。如果每个工人每天工作量一定,需要增加多少工人才如期完工?

  先求每人每天的工作量,再求现在要修路多少米,然后求要5天完工需要工人多少人,最后求要增加多少人。

  (126+54)÷(126÷7÷6×5)–7=5人

  例6、 用两台水泵抽水。先用小水泵抽6小时,后用大水泵抽8小时,共抽水624立方米。已知小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量。求大小水泵每小时各抽水多少立方米?

  解法一:

  根据“小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量”,可以求出大水泵1小时的抽水量相当于小水泵几小时的抽水量。把不同的工作效率转化成某一种水泵的工作效率。

  1、 大水泵1小时的抽水量相当于小水泵几小时的抽水量?

  5÷2=2.5小时

  2、 大水泵8小时的抽水量相当于小水泵几小时的抽水量

  2.5×8=20小时

  3、 小水泵1小时能抽水多少立方米?

  642÷(6+20)=24立方米

  4、 大水泵1小时能抽水多少立方米?

  24×2.5=60立方米

  解法二:

  1、 小水泵1小时的抽水量相当于大水泵几小时的抽水量

  2÷5=0.4小时

  2、 小水泵6小时的抽水量相当于大水泵几小时的抽水量

  0.4×6=2.4小时

  3、 大水泵1小时能抽水多少立方米?

  624÷(8+2.4)=60立方米

  4、 小水泵1小时能抽水多少立方米?

  60×0.4=24立方米

  例7、 东方小学买了一批粉笔,原计划29个班可用40天,实际用了10天后,有10个班外出,剩下的粉笔,够有校的班级用多少天?

  先求这批粉笔够一个班用多少天,剩下的粉笔够一个班用多少天,然后求够在校班用多少天。

  1、 这批粉笔够一个班用多少天

  40×20=800天

  2、 剩下的粉笔够一个班用多少天

  800–10×20=600天

  3、 剩下几个班

  20–10=10个

  4、 剩下的粉笔够10个班用多少天

  600÷10=60天

  (40×20–10×20) ÷(20–10) =60天

  例8、 甲乙两个工人加工一批零件,甲4.5小时可加工18个,乙1.6小时可加工8个,两个人同时工作了27小时,只完成任务的一半,这批零件有多少个?

  先分别求甲乙各加工一个零件所需的时间,再求出工作了27小时,甲乙两工人各加工了零件多少个,然后求出一半任务的零件个数,最后求出这批零件的个数。

  [27÷(4.5÷18)+27÷(1.6÷8)]×2=486个

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  在解答某一类应用题时,先求出总数是多少(归总),然后再用这个总数和题中的有关条件求出问题。这类应用题叫做归总应用题。

  归总,指的是解题思路。

  归总应用题的特点是先总数,再根据应用题的要求,求出每份是多少,或有这样的几份。

  例1、 一个工程队修一条公路,原计划每天修450米。80天完成。现在要求提前20天完成,平均每天应修多少米?

  450×80÷(80–20)=600米

  例2、 家具厂生产一批小农具,原计划每天生产120件,28天完成任务;实际每天多生产了20件,可以几天完成任务?

  要求可以提前几天,先要求出实际生产了多少天。要求实际生产了多少天,要先求这批小农具一共有多少件。

  28–120×28÷(120+20)=4天

  例3、 装运一批粮食,原计划用每辆装24袋的汽车9辆,15次可以运完;现在改用每辆可装30袋的汽车6辆来运,几次可以运完?

  24×9×15÷30÷6=18次

  例4、 修整一条水渠,原计划由8人修,每天工作7.5小时,6天完成任务,由于急需灌水,增加了2人,要求4天完成,每天要工作几小时?

  一个工人一小时的工作量,叫做一个“工时”。

  要求每天要工作几小时,先要求修整条水渠的工时总量。

  1、 修整条水渠的总工时是多少?

  7.5×8×6=360工时

  2、 参加修整条水渠的有多少人

  8+2=10人

  3、 要求 4天完成 ,每天要工作几小时

  4、 360÷4÷10=9小时

  7.5×8×6÷4÷(8+2) =9小时

  例5、 一项工程,预计30人15天可以完成任务。后来工作的天后,又增加3人。每人工作效率相同,这样可以提前几天完成任务?

  一个工人工作一天,叫做一个“工作日”。

  要求可以提前几天完成,先要求得这项工程的总工作量,即总工作日。

  1、 这项工程的总工作量是多少?

  15×30=450工作日

  2、 4天完成了多少个工作日?

  4×30=120工作日

  3、 剩下多少个工作日?

  450–120=330工作日

  4、 剩下的要工作多少天?

  330÷(30+3)=10天

  5、 可以提前几天完成?

  15–(4+10)=1天

  15–[(15×30–4×30) ÷(30+3)+4]=1天

  例6、 一个农场计划28天完成收割任务,由于每天多收割7公顷,结果18天就完成 了任务。实际每天收割多少公顷?

  要求实际每天收割多少公顷,要先求原计划每天收割多少公顷。要求原计划每天收割多少公顷,要先求18天多收割了多少公顷。18天多收割的就是原计划(28–18)天的收割任务。

  1、 18天多收割了多少公顷

  7×18=126公顷

  2、 原计划每天收割多少公顷

  126÷(28–18)=12.6公顷

  3、 实际每天收割多少公顷

  12.6+7=19.6公顷

  7×18÷(28–18) +7=19.6公顷

  例7、 休养准备了120人30天的粮食。5天后又新来30人。余下的粮食还够用多少天?

  先要求出准备的粮食1人能吃多少天,再求5天后还余下多少粮食,最后求还够用多少天。

  1、 准备的粮食1人能吃多少天

  300×120=3600天

  2、 5天后还余下的粮食够1人吃多少天

  3600–5×120=3000天

  3、 现在有多少人

  120+30=150人

  4、 还够用多少天

  3000÷150=20天

  (300×120–5×120) ÷(120+30) =20天

  例8、 一项工程原计划8个人,每天工作6小时,10天可以完成。现在为了加快工程进度,增加22人,每天工作时间增加2小时,这样,可以提前几天完成这项工程?

  要求可以几天完成,要先求现在完成这项工程多少天。要求现在完成这项工程多少天,要先求这项工程的总工时数是多少。

  10–6×10×8÷(8+22)÷(6+2)=8天

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  已知两个数以及它们之间的倍数关系,要求这两个数各是多少的应用题,叫做和倍应用题。

  解答方法是:

  和÷(倍数+1)=1份的数

  1份的数×倍数=几倍的数

  例1、 有甲乙两个仓库,共存放大米360吨,甲仓库的大米数是乙仓库的3倍。甲乙两个仓库各存放大米多少吨?

  例2、 一个畜牧场有绵羊和山羊共148只,绵羊的只数比山羊只数的2倍多4只。两种羊各有多少只?

  山羊的只数:(148-4)÷(2+1)=48只

  绵羊的只数:48×2+4=100只

  例3、 一个饲养场养鸡和鸭共3559只,如果鸡减少60只,鸭增加100只,那么,鸡的只数比鸭的只数的2倍少1只。原来鸡和鸭各有多少只?

  鸡减少60只,鸭增加00只后,鸡和鸭的总数是3559-60+100=3599只,从而可求出现在鸭的只数,原来鸭的只数。

  1、 现在鸡和鸭的总只数

  3559-60+100=3599只

  2、 现在鸭的只数

  (3599-1)÷(2+1)=1200只

  3、 原来鸭的只数

  1200-100=1100只

  4、 原来鸡的只数

  3599-1100=2459只

  例4、 甲乙丙三人共同生产零件1156个,甲生产的零件个数比乙生产的2倍还多15个;乙生产的零件个数比丙生产的2倍还多21个。甲乙丙三人各生产零件多少个?

  以丙生产的零件个数为标准(1份的数),乙生产的零件个数=丙生产的2倍-21个;甲生产的零件个数=丙的(2×2)倍+(21×2+15)个。

  丙生产零件多少个?

  (1156-21-21×2-15)÷(1+2+2×2)=154个

  乙:

  154×2+21=329个

  甲:

  329×2+15=673个

  例5、 甲瓶有酒精470毫升,乙瓶有酒精100毫升。甲瓶酒精倒入乙瓶多少毫升,才能使甲瓶酒精是乙瓶的2倍?

  要使甲瓶酒精是乙瓶的2倍,乙瓶 是1份,甲瓶是2份,要先求出一份是多少,再求还要倒入多少毫升。

  1、 一份是多少

  (470+100)÷(2+1)=190毫升

  2、 还要倒入多少毫升

  190-100=90毫升

  例6、 甲乙两个数的和是7106,甲数的百位和十位上的数字都是8,乙数百位和十位上的数字都是2。用0代替这两个数里的这些8和2,那么,所得的甲数是乙数的5倍。原来甲乙两个数各是多少?

  把甲数中的两个数位上的8都用0代替,那么这个数就减少了880;把乙数中的两个数位上的2都用0代替,那么这个数就减少了220。这样,原来两个数的和就一共减少了(880+220)

  [7106-(880+220)]÷(5+1)+220=1221……乙数

  7106-1221=5885……甲数

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  已知两个数的差以及它们之间的倍数关系,要求这两个数各是多少的应用题,叫做差倍应用题。

  解答方法是:

  差÷(倍数-1)=1份的数

  1份的数×倍数=几倍的数

  例1、 甲仓库的粮食比乙仓多144吨,甲仓库的粮食吨数是乙仓库的4倍,甲乙两仓各存有粮食多少吨?

  以乙仓的粮食存放量为标准(即1份数),那么,144吨就是乙仓的(4-1)份,从而求得一份是多少。

  114÷(4-1)=48吨……乙仓

  例2、 参加科技小组的人数,今年比去年多41人,今年的人数比去年的3倍少35人。两年各有多少人参加?

  由“今年的人数比去年的3倍少35人”,可以把去年的参加人数作为标准,即一份的数。今年参加人数如果再多35人,今年的人数就是去年的3倍。(41+35)就是去年的(3-1)份

  去年:(41+35)÷(3-1)=38人

  例3、 师傅生产的零件的个数是徒弟的6倍,如果两人各再生产20个,那么师傅生产的零件个数是徒弟的4倍。两人原来各生产零件多少个?

  如果徒弟再生产20个,师傅再生产20×6=120个,那么,现在师傅生产的个数仍是徒弟的6倍。可见20×6-20=100个就是徒弟现有个数的6-2=4倍。

  (20×6-20)÷(6-4)-20=30个……徒弟原来生产的个数

  30×6=180个师傅原来生产个数

  例4、 第一车队比第二车队的客车多128辆,再起从第一车队调出11辆客车到第二车队服务,这时,第一车队的客车比第二车队的3倍还多22辆。原来两车队各有客车多少辆?

  要求“原来两车队各有客车多少辆”,需要求“现在两车队各有客车多少辆”;要求“现在两车队各有客车多少辆”,要先求现在第一车队比第二车队的客车多多少辆。

  1、 现在第一车队比第二车队的客车多多少辆

  128-11×2=106辆

  2、 现在第二车队有客车多少辆?

  (106-22)÷(3-1)=42辆

  3、 第二车队原有客车多少辆?

  42-11=31辆

  4、 第一车队原有客车多少辆?

  31+128=159辆

  例5、 小华今年12岁,他父亲46岁,几年以后,父亲的年龄是儿子年龄的3倍?

  父亲的年龄与小华年龄的差不变。

  要先求当父亲的年龄是儿子年龄的3倍时小华多少岁,再求还要多少年。

  (46-12)÷(3-1)-12=5年

  例6、 甲仓存水泥64吨,乙仓存水泥114吨。甲仓每天存入8吨,乙仓每天存入18吨。几天后乙仓存放水泥吨数是甲仓的2倍?

  现在甲仓的2倍比乙仓多(64×2-114)吨,要使乙仓水泥吨数是甲仓的2倍,每天乙仓实际只多存入了(18-2×8)吨。

  (64×2-114)÷(18-2×8)=7天

  例7、 甲乙两根电线,甲电线长63米,乙电线长29米。两根电线剪去同样的长度,结果甲电线所剩下长度是乙电线的3倍。各剪去多少米?

  要求“各剪去多少米”,要先求得甲乙两根电线所剩长度各是多少米。两根电线的差不变,甲电线的长度是乙电线的3倍。从而可求得甲乙两根电线所剩下的长度。

  1、 乙电线所剩的长度

  (63-29)÷(3-1)=17米

  2、 剪去长度

  29-17=12米

  例8、有甲乙两箱橘子。从甲箱取10只放入乙箱,两箱的只数相等;如果从乙箱取15只放入甲箱,甲箱橘子的只数是乙箱的3倍。甲乙两箱原来各有橘子多少只?

  要求“甲乙两箱原来各有橘子多少只”,先求甲乙两箱现在各有橘子多少只。

  已知现在“甲箱橘子的只数是乙箱的3倍”,要先求现在甲箱橘子比乙箱多多少只。原来甲箱比乙箱多10×2=20只,“从乙箱取15只放入甲箱”,又多了15×2=30只。现在两箱橘子相差(10×2+15×2)只。

  (10×2+15×2)÷(3-1)+15=40只……乙箱

  40+10×2=60只……甲箱

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  已知两个数的和与它们的差,要求这,叫做和差应用题。

  解答方法是:

  (和+差)÷2=大数

  (和-差)÷2=小数

  例1、 果园里有苹果树和梨树共308棵,苹果树比梨树多48棵。苹果树和梨树各有多少棵?

  例2、 甲乙两仓共存货物1630吨。如果从甲仓调出6吨放入乙仓,甲仓的货物比乙仓的货物还多10吨。甲乙两仓原来各有货物多少吨?

  从甲仓调出6吨放入乙仓,甲仓的货物比乙仓的货物还多10吨,可知原来两仓货物相差6×2+10=22吨,由此,可根据两仓货物的和与差,求得两仓原有货物的吨数。

  例3、 某公司甲班和乙班共有工作人员94人,因工作需要临时从乙班调46人到甲班工作,这时,乙班比甲班少12人,原来甲班和乙班各有工作人员多少人?

  总人数不变。即原来和现在两班工作人员的和都是94人。现在两班人数相差12人。

  要求原来甲班和乙班各有工作人员多少人,先要求现在甲班和乙班各有工作人员多少人?

  1、 现在甲班有工作人员多少人

  (94+12)÷2=53人

  2、 现在乙班有工作人员多少人

  (94-12)÷2=41人

  3、 原来甲班有工作人员多少人

  53-46=7人

  4、 原来乙班有工作人员多少人

  41+46=87人

  例4、 甲乙丙三人共装订同一种书刊508本。甲比乙多装订42本,乙比丙多装订26本。他们三人各装订多少本?

  先确定一个人的装订本数为标准。如果我们选定乙的装订本数为标准,从总数508中减去甲比乙多装订4的2本,加上丙比乙少装订的26本,得到的就是乙装订本数的3倍。由此,可求得乙装订的本数。

  乙:

  (508-42+26)÷3=164本

  甲丙略

  例5、 三辆汽车共运砖9800块,第一辆汽车比其余两车运的总数少1400块,第二辆比第三辆汽车多运200块。三辆汽车各运砖多少块?

  根据“三辆汽车共运砖9800块”和“第一辆汽车比其余两车运的总数少1400块”,可求得第一辆汽车和其余两车各运砖多少块。

  根据“其余两车共运砖块数”和“第二辆比第三辆汽车多运200块”可求得第二辆和第三辆各运砖多少块。

  1、 第一辆:

  (9800-1400)÷2=4200块

  2、 第二辆和第三辆共运砖块数:

  9800-4200=5600块

  3、 第二辆:

  (5600+200)÷2=2900块

  4、 第三辆:

  5600-2900=2700块

  例6、 甲乙丙三人合做零件230个。已知甲乙两人做的总数比丙多38个;甲丙两人做的总数比乙多74个。三人各做零件多少个?

  先把跽两人做的零件总数看成一个数,从而求出丙做零件的个数,再把甲丙两人做的零件总数看作一个数,从而求出乙做零件的个数。

  丙:(230-38)÷2=96个

  乙:(230-38)÷2=78个

  甲略

  例7、 一列客车长280米,一列货车长200米,在平行的轨道上相向而行,两车从两车头相遇到两车尾相离共经过15秒;两列车在平行轨道上同向而行,货车在前,客车在后,从两车相遇(货车车尾和客车车头)到两车相离(货车车头和客车车尾)经过2分钟。两列车的速度各是多少?

  由相向而行从相遇到相离经过15秒,可求得两列车的速度和(280+200)÷15;由同向而行从相遇到相离经过2分钟,可求得两列车的速度差(280-200)÷(60×2)。从而求得两列车的速度。

  例8、 五年级三个班共有学生148人。如果把1班的3名学生调到2班,两班人数相等;如果把2班的1名学生调到3班,3班还比2班少3人。三个班原来各有学生多少人?

  由“如果把1班的3名学生调到2班,两班人数相等”,可知,1班学生人数比2班多3×2=6人;由“如果把2班的1名学生调到3班,3班还比2班少3人”可知,2班学生人数比3班多1×2+3=5人。如果确定以2班学生人数为标准,由“三个班共有学生148人”和“1班学生人数比2班多3×2=6人,2班学生人数比3班多1×2+3=5人”可先求得2班的学生人数。

  (148-3×2+1×2+3)÷3=49人……2班

  甲丙班略

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  已知两人的年龄,求他们之间的某种数量关系;或已知两人年龄之间的数量关系,求他们的年龄等,这类问题叫做年龄应用题问题。

  年龄问题的主要特点是:大小年龄差是个不变量。差是定值的两个量,随时间的变化,倍数关系也会发生变化。

  这类应用题往往是和差应用题、和倍应用题、差倍应用题的综合应用。

  例1、 小方今年11岁,他爸爸今年43岁,几年以后,爸爸的年龄是小方年龄的3倍?

  因为小方与爸爸的年龄差43-11=32不变。以几年后小方的年龄为1份数,爸爸的年龄就是3份的数。根据差倍应用题的解法,可求出小方几年后的年龄。

  (43-11)÷(3-1)=16岁

  16-11=5年

  例2、 妈妈今年比儿子大24岁,4年后妈妈年龄是儿子的5倍。今年儿子几岁?

  “妈妈今年比儿子大24岁“,4年后也同样大24岁,根据差倍应用题的解法,可求得4年后儿子的年龄,进而求得今年儿子的年龄。

  24÷(5-1)-4=2岁

  例3、 今年甲乙两人年龄和为50岁,再过5年,甲的年龄是乙的4倍。今年甲乙两人各几岁?

  今年甲乙两人年龄和为50岁,再过5年,两人的年龄和是50+5×2=60岁。根据和倍应用题的解法 。可求得5年后乙的年龄,从而求得今年乙的年龄和甲的年龄。

  例4、 小高5年前的年龄等于小王7年后的年龄。小高4年后与小王3年前的年龄和是35岁。今年两人各是多少岁?

  由“小高5年前的年龄等于小王7年后的年龄“可知,小高比小王大5+7岁;他们俩今年年龄的和为:35+3-4=30岁,根据和差应用题的解法,可求得今年两人各是多少岁。

  由第一个条件可知,小高比小王在5+7=12岁。由第二个条件可知,他们的年龄和为35+3-4=34岁。文档顶端

  “根据两个差求未知数”是指分析问题的思考方法。“两个差”是指题目中有这样的数量关系。例如:总量之差与单位量之差;时间之差与速度之差或距离之差等等。解题时可以找出题目中的两个差,再根据两个这间的相应关系使总量得到解决。

  例1、 百货商场上午卖出洗衣机8台,下午卖出同样的洗衣机12台,下午比上午多收售货款6600元,每台洗衣机售价多少元?

  6600÷(12-8)=1650元

  例2、 一辆汽车上午行驶120千米,下午行驶210千米。下午比上午多行驶1.5小时。平均每小时行驶多少千米?

  (210-120)÷1.5=60千米

  例3、 新建一个图书室和一个办公室。室内地面共有234平方米。已知办公室比图书室小54平方米。用同样的砖铺地,图书室比办公室多用864块。图书室和办公室地面各用砖多少块?

  由“办公室比图书室小54平方米”和“图书室比办公室多用864块”可求得“平均每平方米需用砖多少块”;由“室内地面共有234平方米”和“办公室比图书室小54平方米”,可求得“”。从而求得各用砖多少块。

  例4、 甲乙两人同时从东村出发去西村,甲每分钟行76米,乙每分钟行68米。到达西村时,乙比甲多用了4分钟。东西两村间的路程是多少米?

  甲乙两人同时从东村出发,当甲到达西村时,乙距西村还有4分钟的路程。乙每分钟行68米,4分钟能行68×4=272米。也就是说,在相同的时间内,甲比乙多行272米。这是路程这差。每分钟甲比惭多行76-68=8米,这是速度这差。根据这两个差,可以求出甲走完全程所用的时间,从而求得两村之间的路程。

  76×[68×4÷(76-68)]=2584米

  例5、 冰箱厂原计划每天生产电冰箱40台,改进工艺后,实际每天比原计划多生产5台这样,提前2天完成了这批生产任务外,还比原计划多生产了35台。实际生产电冰箱多少台?

  要求“实际生产电冰箱多少台”,需要知道“实际每天生产多少台”和“实际生产了多少天”。

  如果实际上再生产 2 天后话,还能生产(40+5)×2=90台,双知比原计划还多生产35台,实际上比原计划多生产了90+35=125台,这是一个总量之差。又知实际每天比原计划多生产5台,这是生产效率之差。根据这两个差可以求出原计划生产的天数。从而求得实际生产电冰箱的台数

  40×{[(40+5)×2+35]÷5}+35=1035台

  例6、 食品厂运来一批煤,原计划每天生产480千克,烧了预定的时间后,还剩下1680千克;改进烧煤方法后,实际每天烧400千克,烧了同样的时间后,还剩下4080千克。这批煤共有多少千克?

  要求这批煤共有多少千克,先要求出预定烧的天数。计划烧后还剩1680千克,实际烧后还剩4080千克可求得实际比坟墓多剩多少千克,这是剩下总量之差,实际每天烧400千克,计划每天烧480千克,可求得每天烧煤量之差。根据这两个差,可求得烧了多少天。进而可求得烧了多少千克,这批煤共有多少千克。

  400×[(4080-1680)÷(480-400)]+4080=16080千克

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  有关栽树以及与栽树相似的一类应用题,叫做植树问题。植树问题通常有两种形式。一种是在不封闭的线路上植树,另一种是在封闭的线路上植树。

  1、 不封闭线路上植树

  如果在一条不封闭的线路上可不可能,而且两端都植树,那么,植树的棵数比段数多。其数量关系如下:

  棵数=总长÷株距+1

  总长=株距×(棵数-1)

  株距=总长÷(棵数-1)

  2、 在封闭的线路上植树,那么植树的棵数与段数相等。其数量关系如下:

  棵数=总长÷株距

  总长=株距×棵数

  株距=总长÷棵数

  例1、 有一条公路全长500米,从头至尾每隔5米种一棵松树。可种松树多少棵?

  500÷5 +1=101棵

  例2、 从校门口到街口,一共插有30面红旗,相邻两面红旗相隔6米。从校门口到街口长多少米?

  6×(30-1)=174米

  例3、 在一条长150米的大路两旁各栽一行树,起点和终点都栽,一共栽了102棵。每相邻两棵树之间的距离相等。相邻两棵树之间的距离有多少米?

  150÷(102÷2-1)=3米

  例4、 在一个周长为600米的池塘周围植树,每隔10米栽一棵杨树,在相邻两棵杨树之间每隔2米栽1棵柳树。杨树和柳树各栽了多少棵?

  根据“棵数=总长÷株距”,可以求出杨树的棵数

  在每两棵杨树之间可分为10÷2=5段,栽柳树4-1=4棵。由此,可以求得柳树的棵数。

  杨树:600÷10=60棵

  柳树:(10÷2-1)×60=240棵

  例5、 一条马路一侧,原有木电线杆97根,每相邻的两根相距40米。现在计划全部换用大型水泥电线杆,每相邻两根相距60米。需要大型水泥电线杆多少根?

  1、 这条路全长多少米

  40×(97-1)=3840米

  2、 需要大型水泥电线杆多少根

  3840÷60+1=65根

  例6、 一座大桥长200米,计划在大桥两侧的栏杆上共安装32块图案,每块图案长2米,靠近桥两端的图案离桥端10.5米。相邻两图案之间的距离是多少米?

  在桥两侧共装32块图案,即每侧装16块,图案之间的间隔有16-1=15个。用总长减去16块图案的距离就可以知道15个间隔的长度。

  [200-2×(32÷2)-10.5×2]÷(32÷2-1)

  文档顶端 相向运动问题  同向运动问题(追及问题)  背向运动问题(相离问题)

  在行车、行船、行走时,按照速度、时间和距离之间的相依关系,已知其中的两个量,要求第三个量,这类应用题,叫做行程应用题。也叫行程问题。

  行程应用题的解题关键是掌握速度、时间、距离之间的数量关系:

  距离=速度×时间

  速度=距离÷时间

  时间=距离÷速度

  按运动方向,行程问题可以分成三类:

  1、 相向运动问题(相遇问题)

  2、 同向运动问题(追及问题)

  3、 背向运动问题(相离问题)

  十、行程应用题

  相向运动问题(相遇问题),是指地点不同、方向相对所形成的一种行程问题。两个运动物体由于相向运动而相遇。

  解答相遇问题的关键,是求出两个运动物体的速度之和。

  基本公式有:

  两地距离=速度和×相遇时间

  相遇时间=两地距离÷速度和

  速度和=两地距离÷相遇时间

  例1、 两列火车同时从相距540千米的甲乙两地相向而行,经过3.6小时相遇。已知客车每小时行80千米,货车每小时行多少千米?

  例2、 两城市相距138千米,甲乙两人骑自行车分别从两城出发,相向而行。甲每小时行13千米,乙每小时行12千米,乙在行进中因修车候车耽误1小时,然后继续行进,与甲相遇。求从出发到相遇经过几小时?

  因为乙在行进中耽误1小时。而甲没有停止,继续行进。也可以说,甲比乙多行1小时。如果从总路程中把甲单独行进的路程减去,余下的路程就是跽两人共同行进的。

  (138-13)÷(13+12)+1=6小时

  例3、 计划开凿一条长158米的隧道。甲乙两个工程队从山的两边同时动工,甲队每天挖2.5米,乙队每天挖进1.5米。35天后,甲队调往其他工地,剩下的由乙队单独开凿,还要多少天才能打通隧道?

  要求剩下的乙队开凿的天数,需要知道剩下的工作量和乙队每天的挖进速度。

  要求剩下的工作量,要先求两队的挖进速度的和,35天挖进的总米数,然后求得剩下的工作量。

  [158-(2.5+1.5)×35]÷1.5=12天

  例4、 一列客车每小时行95千米,一列货车每小时的速度比客车慢14千米。两车分别从甲乙两城开出,1.5小时后两车相距46.5千米。甲乙两城之间的铁路长多少千米?

  已知1.5小时后两车还相距46.5千米,要求甲乙两城之间的铁路长,需要知道1.5小时两车行了多少千米?要求1.5小时两车共行了多少千米。需要知道两车的速度。

  (95-14+95)×1.5+46.5=310.5千米

  例5、 客车从甲地到乙地需8小时,货车从乙地到甲地需10小时,两车分别从甲乙两地同时相向开出。客车中途因故停开2小时后继续行驶,货车从出发到相遇共用多少小时?

  假设客车一出发即发生故障,且停开2小时后才出发,这时货车已行了全程的 ×2= ,剩下全程的1- = ,由两车共同行驶。

  (1- ×2)÷( - )+2= 小时

  例6、 甲乙两地相距504千米,一辆货车和一辆客车分别从两地相对开出。货车每小时行72千米,客车每小时行56千米。如果要使两车在甲乙两地中间相遇,客车需要提前几小时出发?

  要求“如果要使两车在甲乙两地中间相遇,客车需要提前几小时出发”要先求出货车和客车行一半路程各需要多少小时。

  1、 货车行至两地中间需要多少小时。

  504÷2÷72=3.5小时

  2、 客车行至两地中间需要多少小时。

  504÷2÷56=4.5小时

  3、 客车要提前几小时出发?

  4.5-3.5=1小时

  例7、 甲乙两人分别以均匀速度从东西两村同时相向而行,在离东村36千米处相遇。后继续前进,到达西村后及时返回,又在离东村54千米处相遇,东西两村相距多少千米?

  36千米

  54千米

  两人第一次相遇,合走了一个全程,第二次相遇,2合走了3个全程。

  两人合走了3个全程时,甲走了两个全程少54千米。

  (36×3+54)÷2=81千米

  例8、 甲从A地到B地需5小时,乙从B地到A地,速度是甲的 。现在甲乙两人分别从AB两地同时出发,相向而行,在途中相遇后继续前进。甲到B地后立即返回,乙到A地后也立即返回,他们在途中又一次相遇。两次相遇点相距72千米。AB两地相距多少千米?

  要求AB两地相距多少千米,关键是找出两次相遇点的距离占全程的几分之几

  1、甲每小时行全程的几分之几

  1÷5=

  2、 乙每小时行全程的几分之几

  × =

  3、 第一次相遇用了多少小时

  1÷( + )=

  4、 两人合行了2个全程,甲行了全程的几分之几

  × ×2=

  5、 两人合行了2个全程,乙行了全程的几分之几

  × ×2=

  6、 两次相遇点的距离占全程的几分之几十、行程应用题

  两个运动物体同向而行,一快一慢,慢在前快在后,经过一定时间快的追上慢的,称为追及。

  解答追及问题的关键,是求出两个运动物体的速度之差。基本公式有:

  追及距离=速度差×追及时间

  追及时间=追及距离÷速度差

  速度差=追及距离÷追及时间

  例1、 甲乙两人在相距12千米的AB两地同时出发,同向而行。甲步行每小时行4千米,乙骑车在后面,每小时速度是甲的3倍。几小时后乙能追上甲?

  12÷(4×3-4)=1.5小时

  例2、 一个通讯员骑摩托车追赶前面部队乘的汽车。汽车每小时行48千米,摩托车每小时行60千米。通讯员出发后2小时追上汽车。通讯员出发的时候和部队乘的汽车相距多少千米?

  要求距离差,需要知道速度差和追及时间。

  距离差=速度差×追及时间

  (60-48)×2=24千米

  例3、 一个人从甲村步行去乙村 ,每分钟行80米。他出发以后25分钟,另一个人骑自行车追他,10分钟追上。骑自行车的人每分钟行多少米?

  要求“骑自行车的人每分钟行多少米”,需要知道“两人的速度差”;要求“两人的速度差”需要知道距离差和追及时间

  80×25÷10+80=280米

  例4、 甲乙两人从学校步行到少年宫。甲要走20分钟,乙要走30分钟。如果乙先走5分钟,甲需要几分钟才能追上乙?

  ×5÷( - )-10分钟

  例5、 甲乙两人骑自行车同时从学校出发,同方向前进,甲每小时行15千米,乙每小时行10千米。出发半小时后,甲因事又返回学校,到学校后又耽搁1小时,然后动身追乙。几小时后可追上乙?

  先要求得甲先后共耽搁了多少小时,甲开始追时,两人相距多少千米

  10×(0.5×2+1)÷(15-10)=4小时

  例6、 甲乙丙三人都从甲地到乙地。早上六点甲乙两人一起从甲地出发,甲每小时行5千米,乙每小时行4千米。丙上午八点才从甲地出发,傍晚六点,甲、丙同时到达乙地。问丙什么时候追上乙?

  要求“两追上乙的时间”,需要知道“丙与乙的距离差”和“速度差”。

  要先求丙每小时行多少千米,再求丙追上乙要多少时间

  1、 丙行了多少小时

  18-8=10小时

  2、 丙每小时比甲多行多少千米

  5×2÷10=1千米

  3、 丙每小时行多少千米

  5+1=6千米

  4、 丙追上乙要用多少小时

  4×2÷(6-4)=4小时

  例7、 快中慢三辆车同时从同一地点出发,沿着同一条公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车每小时行24千米,中车每小时行20千米,那么慢车每小时行多少千米?

  快中慢三辆车出发时与骑车人的距离相同,根据快车和中车追上骑车人的路程差和时间差可求得骑车人的速度,进而求慢车每小时行多少千米。

  单位换算略。6分钟= 小时 10分钟= 小时 12分钟= 小时

  1、 快车 小时行多少千米

  24× =2.4千米

  2、 中车 小时行多少千米

  20× = 千米

  3、 骑车人每小时行多少千米

  ( -2.4)÷( - )=14千米

  4、 慢车每小时行多少千米

  (20-14)× ÷ +14=19千米

  例8、 甲乙两人步行速度的经是7:5,甲乙两人分别由AB两地同时出发,如果相向而行,0.5小时相遇;如果他们同向而行,那么甲追上乙需要多少小时?

  设具体数解题。

  设甲乙两人步行的速度分别为每小时7千米和5千米。

  由相向而行,可求得AB两地韹距离,进而由速度差,求得追及时间。

  1、 AB之间的路程是多少千米

  (7+5)×0.5=6千米

  2、 甲追上乙要多少小时

  6÷(7-5)=3小时

  十、行程应用题

  背向运动问题(相离问题),是指地点相同或不同,方向相反的一种行程问题。两个运动物体由于背向运动而相离。

  解答背向运动问题的关键,是求出两个运动物体共同走的距离(速度和)。基本公式有:

  两地距离=速度和×相离时间

  相离时间=两地距离÷速度和

  速度和=两地距离÷相离时间

  例1、 甲乙两车同时同地相反方向开出,甲车每小时行40千米,乙车乙车每小时快5.5千米。4小时后,两车相距多少千米?

  例2、 甲乙两车从AB两地的中点同时相背而行。甲车以每小时40千米的速度行驶,到达A地后又以原来的速度立即返回,甲车到达A地时,乙车离B地还有40千米。乙车加快速度继续行驶,到达B地后也立即返回,又用了7.5小时回到中点,这时甲车离中点还有20千米。乙车加快速度后,每小时行多少千米?

  乙车在7.5小时内行驶了(40×7.5+40+20)千米的路程,这样可以求得乙车加快后的速度。

  (40×7.5+40+20)÷7.5=48(千米)

  例3、 甲乙两车同时同地同向而行,3小时后甲车在乙车前方15千米处;如果两车同时同地背向而行,2小时后相距150千米。甲乙两车每小时各行多少千米?

  根据“3小时后甲车在乙车前方15千米处”,可求得两车的速度差;根据“两车同时同地背向而行,2小时后相距150千米”,可求得两车的速度和。从而求得甲乙两车的速度(和差问题)

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  流水问题就是船在水中航行的行程问题。它有几种速度:

  静水速度,船本身的速度,即船在静水中航行的速度。

  水流速度,水流动的速度,即没有外力的作用水中漂浮的速度。

  顺水速度,当船航行方向与水流方向一致时的速度。

  逆水速度,当船航行方向与水流方向相反时的速度。

  它们的关系如下:

  顺水速度=静水速度+水流速度

  逆水速度=静水速度–水流速度

  例1、两码头相距108千米,一艘客轮顺水行完全程需要10小时,逆水行完全程需要12小时。求这艘客轮的静水速度和水流速度。

  1、 顺水速度:108÷10=10.8千米

  2、 逆水速度:108÷12=9千米

  3、 静水速度:(10.8–9)÷2=9.9千米

  例2、一客轮顺水航行320千米需要8小时,水流速度每小时5千米。逆水每小时航行多少千米?这一客轮逆水行完全程,需要用几小时?

  要求逆水速度,需要知道顺水速度和水流速度;知道了逆水速度,就可求得行完全程所需时间。

  1、 顺水速度:320÷8=40千米

  2、 逆水速度:40-15×2=10千米

  3、 逆水行完全程,需用几小时:320÷10=32小时

  例3、某往返于甲乙两港,顺水航行每小时行15千米;逆水航行每小时行12千米,已知顺水行完全程比逆水少用2小时,求甲乙两港的距离。

  顺水行完全程比逆水少用2小时,就是说,逆水行完全程多用2小时。行完全程逆水比顺水12×2=24千米。顺水每小时比逆水快15-12=3千米,由此,求得顺水行完全程所需时间,进而求得两港的距离。

  15×[12×2÷(15–12)]=120千米

  例4、 甲船逆水航行360千米需18小时,返回原地需10小时;乙船逆水航行同样一段距离需15小时,返回原地需多少小时?

  由题中甲船逆水、顺水航行的距离和时间,可以求得甲船速度与水速的和及差,从而可以求出水速。

  由乙船逆水航行的距离和时间,可以求得乙船在逆水中的速度;由乙船逆水速度水速可以求得乙船顺水速度,从而求得乙船返回原地需要的时间。

  1、 甲船的顺水速度

  360÷10=36千米

  2、 甲船的逆水速度

  360÷18=20千米

  3、 水流速度

  (36-20)÷2=8千米

  4、 乙船逆水速度

  360÷15=24千米

  5、 乙船顺水速度

  24+8×2=40千米

  6、 乙船返回原地时间

  360÷40=9小时

  例5、 AB两港相距120千米,甲乙两船从AB两港相向而行6小时后相遇。甲船顺水航行,甲船比乙船多行48千米,水速每小时1.5千米。求甲乙两船的静水速度。

  要求甲乙两船的静水速度,只需求出甲乙两船的静水速度的和与静水速度的差。

  1、 甲船顺水速度与乙船逆水速度的和

  120÷6=20千米

  2、 甲乙两船静水速度的和

  甲顺水速度+乙逆水速度=(甲静水速度+1.5)+(乙静水速度-1.5)= 甲静水速度+乙静水速度=20千米

  3、 甲船顺水速度与乙船逆水速度的差

  48÷6=8千米

  4、 甲乙两船静水速度的差

  甲顺速-乙逆速=(甲静速+1.5)-(乙静速-1.5)=甲静速-乙静速+1.5×2=8

  甲静速-乙静速、8-1.5×2=5千米

  5、 甲船的静水速度。

  (20+5)÷2=12.5千米

  6、 乙船的静水速度

  (20-5)÷2=7.5千米

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  把一定数量的东西平均分配,如果多分,东西不足;少分,东西有余。分物时出现盈(有余)、亏(不足)或尽(刚好分完)几种情况,这类问题叫做盈亏问题。

  解答盈亏问题有下列几个公式:

  1、 一盈一亏类

  (盈数+亏数)÷再次分物数量差=分物对象的个数

  2、 一盈一尽类

  盈数÷两次分物数量的个数=分物对象的个数

  3、 一亏一尽类

  亏数÷两次分物数数量差=分物对象的个数

  4、 两盈类

  (大盈数–小盈数)÷两次分物数量差=分物对象的个数

  例1、 同学们去划船。如果每条船坐5人,有14人没有座位;如果每条船坐7人,多4个空位。问有多少条船?学生多少人?

  比较一下两次安排,第一次有14人没有座位,第二次又多4个座位,一盈一亏。两次相差14+4=18人。

  这18人是由于第二次安排时每条船比第一次多坐7-5=2人,多出18人有几条船呢?

  (14+4)÷(7-5)=9条

  5×9+14=59人

  或7×9-4=49人

  例2、 学校分配宿舍,每个房间住3人,则多出20人;每个房间住5人,刚好安排好。部有房间多少个?学生多少人?

  比较一下两次安排,第一次多出20人,第二次刚好,两次相差20人。这20人是疏于第二次安排时,每个房间比第一次多住5-3=2人

  例3、 学校买来一批新书。如果每人借5本则少150本;如果每人借3本则少70本。借书的学生有多少人?买来新书多少本?

  (150-70)÷(5-3)=40人

  5×40-150=50本

  例4、 猴子分桃子。每只小猴分5个还多23个;每只小猴分9个还多3个。这堆桃子有多少个?小猴有多少只?

  (23-3)÷(9-5)=5只

  9×5+3=48个

  例5、 一列火车装运一批货物,原计划每节车皮装46吨,结果有100吨货物没有装上去;后来改进装车方法,使每节车皮多装4吨,结果把这批货物全部装完,而且还剩下两节空车皮。问这列火车有多少节车皮?这批货物有多少吨?

  [100+(46+4)×2]÷4=50节……车皮

  46×50+100=2400吨……货物

  例6、 把许多橘子分给一些小朋友。如果其中3人,每人分给3只,其余小朋友每人分给3只,还余9只;如果其中2人分给3只,其余小朋友每人分给5只,恰好分尽。问橘子有多少只?小朋友有多少人?

  将第一种分配方案转述为:每人分3只,还多(4-3)×3+9=12只;将第二种分配方案转述为:每人分5只,还少5-3=2只。

  1、 每人分3只,还多多少只?

  (4-3)×3+9=12只

  2、 每人分5只,还少多少只?

  5-3=2只

  3、 小朋友有多少人

  (12+2)÷(5-3)=7人

  4、 橘子有多少只

  4×3+3×(7-3)+9=33只

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  已知大小不相等的两部分,移多补少使两部分同样多的应用题,叫做差额平分问题。

  通常的解答方法是:先求出两部分数量的差(差额),再将其差平均分成两份,取其中一份,使两部分相等。

  例1、 有甲乙两个书架。甲书架上有书940本,乙书架上有书1280本。要使两书架上书的本数相等,应从乙书架取多少本书放入甲书架?

  先求出乙书架上的书比甲书架多多少本。再把差额平分成两份。

  (1280-940)÷2=170

  例2、 一班有学生52人,调6人到二班,两个班的学生人数相等。二班原来有学生多少人?

  由“调6人到二班,两个班的学生人数相等”,可知,原来一班比二班多6×2=12人。由此求得二班原有人数。

  52-6×2=40人

  例3、 甲仓有大米1584袋,乙仓有大米858袋,每天从甲仓运33袋到乙仓,几天后两仓的大米袋数相等?

  要求“要运多少天”,先要求甲仓总共要运多少大米到乙仓,再求每天运33袋,要运多少天>

  (1584-858)÷2÷33=11天

  例4、 甲乙丙三个组各拿出相等的钱去习同样的数学书。分配时,甲组要22本,乙组要23本,丙组要30本。因此,丙组还给甲组13.5元,丙组还要还给乙组多少元?

  先要求平均时,各组应分得多少本,甲组少分了多少本,乙组少分了多少本。每本多少元,然后再求丙组还要给乙组多少元。

  1、 平均分时,各组应得多少本

  (22+23+30)÷3=25本

  2、 甲少分了多少本

  25-22=3本

  3、 乙少分了多少本

  25-23=2本

  4、 每本多少元

  13.5÷3=4.5元

  5、 丙组还应给乙组多少元

  4.5×2=9元

  例5、 、甲乙丙三校合买一批树苗。分配时,甲校比乙丙两校多分60棵,因此,甲校还给乙、丙两校各160元。每棵树苗多少元?

  1、 乙丙两校各少分了多少棵

  60÷3=20棵

  2、 每棵树苗多少元

  160÷20=8元

  例6、 甲仓有粮食100吨,乙仓有粮食20吨。从甲仓调多少吨粮食到乙仓,乙仓的粮食是甲仓的2倍?

  要求“从甲仓调多少吨粮食到乙仓,乙仓的粮食是甲仓的2倍”,需要知道“调粮后甲仓有多少吨”。

  两仓一共有存粮多少吨,乙仓是甲仓的2倍,根据和倍应用题的解答方法,可求得调粮后甲仓有粮多少吨?再求要调出粮食多少吨。

  1、 两仓共有粮食多少吨

  100+20=120吨

  2、 调粮后甲仓有粮多少吨

  120÷(2+1)=40吨

  3、 甲仓要调出多少吨到乙仓

  100-40=60吨

  100-(100+20) ÷(2+1) =60吨

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  糖与糖水重量的比值叫做糖水的浓度;盐与盐水的重量的比值叫做盐水的浓度。我们习惯上把糖、盐、叫做溶质(被溶解的物质),把溶解这些 物质的液体,如水、汽油等叫做溶剂。把溶质和溶剂混合成的液体,如糖水、盐水等叫做溶液。

  一些与浓度的有关的应用题,叫做浓度问题。

  浓度问题有下面关系式:

  浓度=溶质质量÷溶液质量

  溶质质量=溶液质量×浓度

  溶液质量=溶质质量÷浓度

  溶液质量=溶质质量+溶剂质量

  溶剂质量=溶液重量×(1–浓度)

  例1、 浓度为25%的盐水120千克,要稀释成浓度为10%的盐水,应该怎样做?

  加水稀释后,含盐量不变。所以要先求出含盐量,再根据含盐量求得稀释后盐水的重量,进而求得应加水多少克。

  120×25%÷10%-120=180克

  例2、 浓度为70%的酒精溶液500克与浓度为50%酒精溶液300克,混合后所得到的酒精溶液的浓度是多少?

  要求混合后的溶液浓度,需要知道混合后溶液的总重量及所含纯酒精的重量。

  (500×70%+300×50%)÷(500+300)=62.5%

  例3、 有含盐8%的盐水40千克,要配制含盐20%的盐水100千克需加水和盐各多少千克?

  根据“要配制含盐20%的盐水100千克”可求得新的盐水中盐和水的重量。

  加盐多少千克:100×20%-40×8%=16.8千克

  例4、 从装满100克浓度为80%的盐水杯中倒出40克盐水后,再倒入清水将倒满,搅拌后再倒出40克盐水,然后再倒入清水将杯倒满。这样重复三次后,杯中盐水的浓度是多少?

  最后杯中盐水的的重量仍为100克,因此只需要求出最后盐水中含有多少盐,就可求得最后盐水的浓度。要求剩下的盐,需要求出三次倒出的盐水中含有多少盐,每次倒出的盐水虽然都是40克,但是由于浓度不同,所以含盐量不相同。

  1、 原来杯中盐水含盐多少克?

  100×80%=80克

  2、 第一次倒出的盐水中含盐多少克?

  40×80%=32克

  3、 加满清水后,盐水浓度为多少?

  (80-32)÷100=48%

  4、 第二次倒出的盐水中含盐多少克?

  40×48%=19.2克

  5、 加满清水后,盐水浓度为多少?

  (80-32-19.2)÷100=28.8%

  6、 第三次倒出的盐水中含盐多少克?

  40×28.8%=11.52克

  7、 加满清水后,盐水浓度为多少?

  (80-32-19.2-11.52)÷100=17.28%

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  应用最大公约数与最小公倍数方法求解的应用题,叫做公约数与人数公倍数问题。

  解题的关键是先求出几个数的最大公约数或最小公倍数,然后按题意解答要求的问题。

  例1、 有三根铁丝,一佷长18米,一根长24米,一根长30米。现在要把它们截成同样长的小段。每段最长可以有几米?一共可以截成多少段?

  截成的小段一定是18、24、30的最大公约数。先求这三个数的最大公约数,再求一共可以截成多少段。

  (18、24、30)=6

  (18+24+30)÷6=12段

  例2、 一张长方形纸,长60厘米,宽36厘米,要把它截成同样大小的长方形,并使它们的面积尽可能大,截完后又正好没有剩余,正方形的边长可以是多少厘米?能截多少正方形?

  要使截成的正方形面积尽可能大,也就是说,正方形的边长要尽可能大,截完后又正好没有剩余,这样正方形边长一定是60和36的最大公约数。

  (36、60)=12

  (60÷12)×(36÷12)=15个

  例3、 用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。如每个花束里的红玫瑰花的朵数相同,白玫瑰花的朵数也相同,最多可以做多少个花束?每个花束里至少要有几朵花?

  要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束,每束花里的红白花朵数同样多,那么做成花束的的个数一定是96和72的公约数,又要求花束的个数要最多,所以花束的个数应是96和72的最大公约数>

  1、 最多可以做多少个花束

  (96、72)=24

  2、 每个花束里有几朵红玫瑰花

  96÷24=4朵

  3、 每个花束里有几朵白玫瑰花

  72÷24=3朵

  4、 每个花束里最少有几朵花

  4+3=7朵

  例4、 公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。第一路车每隔5分钟发车一次,第二路车每隔10分钟发车一次,第三路车每隔6分钟发车一次。三路汽车在同一时间发车以后,最少过多少分钟再同时发车?

  这个时间一定是5的倍数、10的倍数、6的倍数,也就是说是5、10和6的公倍数,“最少多少时间”,那么,一定是5、10、6的最小公倍数。

  [5、10、6]=30

  例5、 某厂加工一种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个;第二道工序每个工人每小时可完12个;第三道工序每个工人每小时可完成5个。要使流水线能正常生产,各道工序每小时至少安适几个工人最合理?

  安排每道工序人力时,应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件个数。这个零件个数一定是每道工序每人每小时完成零件个数的公倍数。至少安排的人数,一定是每道工序每人每小时完成零件个数的最小公倍数。

  1、 在相同的时间内,每道工序完成相等的零件个数至少是多少?

  [3、12、5]=60

  2、 第一道工序应安排多少人

  60÷3=20人

  3、 第二道工序应安排多少人

  60÷12=5人

  4、 第三道工序应安排多少人

  60÷5=12人

  例6、 有一批机器零件。每12个放一盒,就多出11个;每18个放一盒,就少1个;每15个放一盒,就有7盒各多2个。这些零件总数在300至400之间。这批零件共有多少个?

  每12个放一盒,就多出11个,就是说,这批零件的个数被12除少1个;每18个放一盒,就少1个,就是说,这批零件的个数被18除少1;每15个放一盒,就有7盒各多2个,多了2×7=14个,应是少1个。也就是说,这批零件的个数被15除也少1个。

  如果这批零件的个数增加1,恰好是12、18和15的公倍数。

  1、 刚好能12个、18个或15个放一盒的零件最少是多少个

  [12、18、15]=180

  2、 在300至400之间的180的倍数是多少

  180×2=360

  3、 这批零件共有多少个

  360-1=359个

  例7、 一个数除193余4,除1089余9。这个数最大是多少?

  这个数除(193-4),没有余数,这个数除(1089-9)没有余数。这个数一定是(193-4)和(1089-9)的公约数。要求这个数最大,那么一定是这两个数的最大公约数。

  193-4=189

  1089-9=1080

  (189、1080)=27

  例8、 公路上一排电线杆,共25根。每相邻两根间的距离原来都是45米,现在要改成60米,可以有几根不需要移动?

  不需要移动的电线杆,一定既是45的倍数又是60的倍数。要先求45和60的最小公倍数和这条公路的全长,再求可以有几根不需要移动。

  1、 从第一根起至少相隔多少米的一根电线杆不需移动?

  [45、60]=180

  2、 全路长多少米?

  45×(25-1)=1080米

  3、 可以有几根不需要移动?

  1080÷180+1=7米

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  顺次差1 的几个整数叫做连续数。

  顺次差2的几个偶数叫做连续偶数。

  顺次差2的几个奇数叫做连续奇数。

  已知几个连续数的和,求这几个连续数各是多少的应用题。叫做连续数问题。

  连续数的每一个数叫一项。最前面的项叫首项,最后面的项叫末项,转眼间的项叫中项。各个项数的和叫总和。

  它的计算方法是:

  {和–[1+2+3+……+(项数–1)]}÷项数=最小项(首项)

  {和+[1+2+3+……+(项数–1)]}÷项数=最大项(末项)

  总和÷项数=中间项(中项)

  (首项+末项)×项数÷2=总和

  例1、 7个连续自然数的和是84,这7个数各是多少?

  可以先求最大数,也可以先求最小数,还可以先求中间数。

  解法一:先求最大数:

  (84+1+2+3+4+5+6)÷7=15

  连续的各数是:9、10、11、12、13、14、15。

  解法二:(84-1-2-3-4-5-6)÷7=9

  连续的各数是:9、10、11、12、13、14、15

  解法三:当连续数的个数是奇数时,一般可以先求中间数。

  84÷7=12

  连续的各数是:9、10、11、12、13、14、15

  例2、 6个连续偶数的和是150,这6个偶数各是多少?

  解法一:先求最大数:(150+2+4+6+8+10)÷6=30

  6个连续偶数是:20、22、24、26、28、30。

  解法二:先求最小数(150-2-4-6-8-10)=20

  6个连续偶数是:20、22、24、26、28、30。

  例3、 有七个连续奇数,第七个数是第二个数的3倍。求各数。

  第七个数比第二个数大2×(7-2)=10,第七个数是第二个数的3倍,根据“差倍应用题”的计算方法,就可先求得第二个数。

  [2×(7-2)]÷[3-1]=5

  七个连续奇数是:3、5、7、9、11、13、15。

  例4、 有七张电影票,座号是连续的单号。其座号的和是49,这些票各是多少号?

  解法一:先求最大号:

  (49+2+4+6+8+10+12)÷7=13

  七个连续的单号是:1、3、5、7、9、11、13。

  解法二:先求最小号

  解法三先求中间号:(略)

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  我们知道,求两个数的和,只要直接相加就可得到结果。但是在有的情况下,却不能直接相加,它关系到重叠部分的数量关系的问题,我们把这类问题称为“重叠问题”。

  解答重叠问题的关键是要结合图形。在计算一个问题时,可以把总量分成几个分量来计算,先把每个分量加起来,然后再减去重叠计算的部分。

  例1、 同学们去采集标本。采集昆虫标本的有32人,采集花草标本的有25人,两种标本都采集的有16人。去采集标本的共有多少人?

  要求去采集标本的总人数,不能用32人和25人相加得到。在32人中包含有16人,在25人中也包含有16人。重复包含的16人加了两次。所以,还要减去重复计算的16人。

  32+25-16=41人

  例2、 某班36个同学在一次数学测验中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都对的有15人。问有几个同学两题都不对?

  要求有几个同学两题都不对,先要求做对其中一题的有几人。

  1、 做对其中一题的有几人

  25+23-15=33人

  2、 有几人两题都不对

  36-33=3人

  例3、 一个班有学生45人,参加体育队的有32人,参加文艺队的有27人,每人至少参加一个队。 问这个班两队都参加的有多少人?

  32+27=59人,总数超过了全班人数。因为有一部分同学参加了两队。所以只要在总数中减去全班的人数,就是两队都参加的人数

  32+27-45=14人

  例4、 某班数学、英语期中考试的成绩如下:英语得100分的有12人,数学得100分的有10人,两门功课都得100分的有3人,两门功课都未得100分的有26人。这个班有学生多少人?

  26人

  3人

  10人

  12人

  全班?人

  从图中可以明显地看出,两门功课都得100分的有3人,在10人中计算了一次,在12人中又计算了一次。

  26+(10+12-3)=45人

  例5、 某班共有学生50人,其中35人会游泳,38人会骑自行车,40人会溜冰,46人会打乒乓球。问四项活动都会的人数至少有多少人?

  要求四项活动都会的人数至少有多少人,首先要求出有一个项目不会的至多有多少人,然后从总人数中减去它。

  1、 不会游泳的有多少人?

  50-35=15人

  2、 不会骑自行车的有多少人?

  50-38=12人

  3、 不会溜冰的有多少人?

  50-40=10人

  4、 不会打乒乓球的有多少人?

  50-46=4人

  5、 有一个项目不会的至多有多少人?

  15+12+10+4=41人

  6、 四个项目都会的至少有多少人?

  50-41=9人

  例6、 有三个面积都是60平方厘米的圆,两两相交的面积分别为9、13、15平方厘米。三个圆相交部分的面积为5平方厘米。总体图形盖住的面积是多少平方厘米?

  先求得三个圆面积的和,再减去两两相交的重叠部分。这样三个圆相交部分的面积多减了一次,要加上它。

  6×3-9-13-15+5=148平方厘米

  例7、 在26名同学中会打乒乓球的有13人,会打网球的有12人,会打羽毛球的有9人,既会打乒乓球又会打羽毛球的有2人,既会打羽毛球又会打网球的有3人。但没有人这三种球都会打,也没有人这三种球都不会打。有多少人既会打乒乓球又会打网球?

  设既会打乒乓球又会打网球的有X人。

  由图可知,只会打乒乓球的有(11-X)人;只会打网球的有(9-X)人;只会打羽毛球的有4人。一共有26人。由此可以列出方程。

  11-X+9-X+4+X+2+3=26

  X=3

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  以钟表上的时针和分针行走的速度、时间、距离等方面计算为内容的应用题,叫做时钟问题。

  时钟问题可以理解为分针追时针的追及问题。解答这类问题的关键就是求“速度差”。

  分针走60格的同时,时针只走了5格。也就是分针走一格,时针走 = 格。分针每分钟比时针多走1– = 格。这个速度差是固定不变的。

  例1、 现在是下午4时正,5时以前时针与分针正好重合的时刻是几时几分?

  这是分针追及时针的问题。4时正,分针在时针后20小格,两针重合的时刻也就是分针追上时针的时刻。分针与时针的速度差为每分钟1– 格。

  20÷(1– )= 分

  例2、 现在是下午1时,再过多少时间,时针与分针第一次成直线(反方向)?

  时针与分针成直线时,两针两针之间差30格。1点钟时,分针还在时针的后面,这时两针不可能成直线。显然,分针必须在越过时针后,才能出现两针成直线的情况。也就是说,从1点起,分针必须比时针多走(5+30)=35格

  (5+30)÷(1- )= 分

  例3、 2点与3点之间,时钟的两针第一次成直角的时刻是几时几分?

  两针成直角时,两针之间相差15格,2点时,分针落后时针10格,必须让分针赶上时针,并超过时针15格,才能成直角,也就是说,分针要比时针多走10+15=25格。

  10+15÷(1- )= 分

  例4、 时钟的时针和分针由第一次成反方向开始到第二次再成反方向为止,中间一共需要多少时间?

  第一次成反方向时,分针落后(或超过)时针30格,到第二次再成反方向时,分针必须比时针多走30+30=60格

  (30+30)÷(1- )=65 分=1时5分 秒

  例5、 9时与10时之间,时针与分针正好成60度角,这时候的时间是多少?

  60度即钟盘上10格。有两种情况:

  1、 分针与时针重合以前成60度角。9时,两针相差45格。即分针要比时针多走45-10=35格

  (45-10)÷(1- )= 分

  2、 分针与时针重合以后成60度角。分针要比时针多走45+10=55格

  (45+10)÷(1- )=60分

  例6、 两针正好成60度角的时刻是5点40分,不需多少时间两针第一次重合?

  解法一:可以考虑两针从现在时刻到第一次重合的路程差及速度差,直接求出所需时间。

  1、 两针的路程差。

  20+30- ×20= 格

  2、 所需时间

  ÷(1- )= 分

  综合算式

  (20+30- ×20)÷(1- )= 分

  解法二:

  将问题转化为:先求出从6时正开始到第一次重合所需时间然后加上前面的20分钟。

  1、 从6时至两针重合所需时间。

  30÷(1- )= 分

  2、 从5时40分至两针重合所需时间

  20+ = 分

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  工程问题是一种典型的分数应用题。这类应用题的特点是:题中不给出工作量的具体数量,而用整体“1”来表示;工作效率以单位时间内完成工作总量的几分之几来表示,而后根据工作量、工作效率、和工作时间三者的关系来解答。

  基本数量关系式是:

  工作量÷工作效率=工作时间

  在运用上面数量关系进行解答时,要注意工作量必须与完成这些工作量所需要的时间相对应。

  例1、 甲乙两队合作某一项工程,12天可以完成;如果甲队工作2天,乙队工作3天,他们只能完成这项工程的20%。甲乙两队单独完成这项工程,各需多少天?

  解法一:

  把“甲队工作2天,乙队工作3天,只能完成这项工程的20%”转换成“甲乙两队合作2天,乙再工作1天”。

  把这项工程看作单位“1”,甲乙合做1天可完成这项工程的 ,合做2天可完成这项工程的 ×2,从而求得乙的工作效率:

  (20%- ×2)÷(3-2)=

  乙单独完成这项工程的天数

  1÷ =30天

  甲队单独完成这项工程的天数

  1÷( - )=20天

  解法二:

  假定甲与乙一样工作3天,完成的工作量为 ×3= ,这时工作量必定超过20%,超过部分 +20%,就是甲队一天的工作量。

  甲队单独完成这项工作所需时间

  1÷( ×3-20%)=20天

  乙队单独完成这项工作所需时间

  1÷( - )=30天

  例2、 甲乙丙三个车队运输一批货物。甲乙两个车队在6天内运完 ,以后由乙丙两个车队合运2天,完成了余下货物的 ,最后甲乙丙三个车队合运5天才运完。甲队、乙队、丙队单独运输这批货物,各需多少天?

  要求甲乙丙三队单独运输,各需多少天,要设法求得甲乙丙三队的工作效率。

  甲乙两队的工作效率为 ÷6= ;

  乙丙两队的工作效率为(1- )× ÷2= ;

  三队合做的工作效率为(1- )×(1- )÷5= 。

  由此,可求得甲队、乙队、丙队的工作效率。

  1、 甲乙两队的工作效率

  ÷6=

  2、 乙丙两队的工作效率

  (1- )× ÷2=

  3、 三队合做的工作效率

  (1- )×(1- )÷5=

  4、 甲队单独运完这批货物所需天数

  1÷( - )=60天

  5、 乙队单独运完这批货物所需天数

  1÷[ -( - )]= 天

  6、 丙队单独运完这批货物所需天数

  1÷( - )=

  例3、 一项工程,原定100人,工作90天完成;工程进行15天后,由于采用先进工具和技术,平均每人工效提高了50%。完成这项工程可提前几天?

  要求完成这项工程,可以提前几天,先要求出实际所用的天数;要求实际所用的天数,先要求出完成余下的工程所用的天数。全工程原定100人90天完成,那么,平均每人每天要完成全工程的 ;100人工作15天完成了全工程量的 ×100×15。余下全工程的(1- ×100×15)。采用先进技术后,每人工作效率是:[ ×(1+50%)],进而求得余下的工程所用的天数。

  1、 100人工作15天后,还余下全工程的几分之几?

  1- ×100×15=

  2、 改进技术后,100人1天可以完成这项工程的几分之几?

  ×(1+50%)×100=

  3、 余下的工程要用多少天?

  ÷ =50天

  4、 可提前多少天?

  90-15-50=25天

  综合算式:

  90-15-(1- ×100×15)÷[ ×(1+50%)×100]=25天

  例4、 有一水池,装有甲乙两个注水管,下面装有丙管排水。空池时,单开甲管5分钟可注满;单开乙管10分钟可注满。水池注满水后,单开丙管15分钟可将水放完。如果在空池时,将甲乙丙三管齐开,2分钟后关闭乙管,还要几分钟可以注满水池?

  分析与解:

  先求出甲乙丙三管齐开2分钟后,注满了水池的几分之几,还余下几分之几。再求余下的要几分钟。

  1、 三管齐开2分钟,注满了水池的几分之几?

  ( + - )×2=

  2、 还余下几分之几?

  1- =

  3、 余下的还要几分钟?

  ÷( - )=4分钟

  例5、 一队割麦工人要把两块麦地的麦割去。大的一块麦地比小的一块大一倍。全队成员先用半天时间割大的一块麦地,到下午,他们对半分开,一半仍留在大麦地上,到傍晚时正好把大麦地的麦割完;另一半到小麦地去割,到傍晚时还剩下一小块,这一小块第二天由1人去割,正好1天割完。这个割麦队共有多少人?

  分析与解:

  把大的一块麦地算作单位“1”,小的一块麦地为 。根据题意,一半成员半天割了 ,一天割了 ,全队成员一天可割 ×2= 。

  1、 全队成员一天可割几分之几?

  ×2=

  2、 所剩的一小块面积是几分之几?

  -( -1)=

  3、 全队有多少人?

  (1+ - )÷ =8人

  例6、 一项工程,甲工程队每天工作8小时,3天可以完成;乙工程队每天工作9小时,8天可以完成。如果两工程队合作,每天工作6小时,几天可以完成?

  分析与解:

  要求两队合做,几天可以完成,先要求出甲工程队每小时可以完成全工程的几分之几,乙工程队每小时可以完成全工程的几分之几。

  1、 甲工程队每小时可以完成全工程的几分之几?

  1÷(8×3)=

  2、 乙工程队每小时可以完成全工程的几分之几?

  1÷(9×8)=

  3、 两队合作几天可以完成

  1÷( + )÷6=3天

  综合算式:

  1÷[1÷(8×3)+1÷(9×8)]÷6=3天

  例7、 一件工作,3个男工和4个女工一天能完成 ;3个女工和4个男工一天能完成 。如果由1个女工独做,几天可以完成?

  分析与解:

  要求由1个女工独做,几天可以完成,先要求得1个女工的工作效率;要求1个女工的工作量,先要求1个男工和2个女工一天的工作量。

  “3个男工和4个女工一天能完成 ”和“3个女工和4个男工一天能完成 ”把这句话合并成;“7个男工和7个女工一天能完成这件工作的 + 。”

  1、 7个男工和7个女工一天的工作量。

  + =

  2、 一个男工和一个女工一天的工作量。

  ÷7=

  3、 一个女工一天的工作量

  - ×3=

  4、 一个女工独做需要多少天

  1÷ =18天

  例8、 一项工程,甲独做10天完成,乙独做12天可以完成,丙独做15天完成。现在三人合作甲中途因病休息了几天,结果6天完成任务。甲休息了几天?

  如果甲没有休息,那么甲乙丙都工作了6天,完成了工程量的几分之几,超过了几分之几,然后求得甲休息了几天。

  1、 三人合做6天,完成了工程量的几分之几?

  ( + + )×6=

  2、 超额完成了工程的几分之几?

  -1=

  3、 甲休息了几天?

  ÷ =5天

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  牛顿问题也叫牛吃草问题。由于这个问题是由伟大的科学家牛顿提出来的,所以以后就把这类问题叫做牛顿问题。牛顿问题的特点是随着时间的增长所研究的量也等量地增加,解答时,要抓住这个关键问题,也就是要求出原来的量和增加的量各是多少。

  牧场上长满牧草,每天匀速生长。这片牧场可供10头牛吃20天,可供15头牛吃10天。供25头牛吃几天?

  牧草的总量不定,它是随时间的增加而增加。但是不管它怎样增长,草的总量总是由牧场原有草量和每天长出的草量相加得来的。

  10头牛20天吃的总草量比15头牛10天吃的草量多,多出部分相当于10天新长出的草量。

  设法求出一天新长出的草量和原有草量。

  1、10头牛20天吃的草可供多少牛吃一天?

  10×20=200头、

  2、15头牛10天吃的草可供多少 头牛吃一天

  15×10=150头

  3、(20–10)天新长出的 草可供多少头牛吃一天?

  50÷10=5头

  4、每天新长出的草可供多少头牛吃一天?

  50÷10=5头

  5、20天(或10天)新长出的草可供多少头牛吃一天?

  5×20=100头 或5×10=50头

  6、原有的草可供多少头牛吃一天?

  200–100=100头 或150–50=100头

  7、每天25头牛中,如果有5头牛去吃新长出的草,其余的牛吃原有的草,可吃几天?

  100÷(25–5)=5天

  例2、有一水井,连续不断涌出泉水,每分钟涌出的水量相等。如果用3 台抽水机抽水,36分钟可以抽完;如果用5台抽水机抽水,20分钟可以抽完。现在12分钟要抽完井水,需要抽水机多少台?

  随着时间的增长涌出的泉水也不断增多,但原来水量和每分钟涌出的水量不变。

  1、 3台抽水机的抽水量。

  3×36=108台分

  2、 5台抽水机的抽水量。

  5×20=100台分

  3、 使用3 台抽水机比用5台抽水机多用多少分钟?

  36–20=16分

  4、 使用3台抽水机比用5台抽水机少抽的水量。

  108–100=8台分

  5、 泉水每分钟涌出的水量,算出需要抽水机多少台?

  8÷16= 台

  6、 水井分钟涌出的水量。

  ×36=18台分

  7、 水井原有的水量。

  108–18=90台分

  8、 水井原有水量加上12分钟涌出的水量。

  ×12=6台分

  9、 水井原有水量加上12分钟涌出的水量。

  90+6、12台分

  10、 需要抽水机多少台?

  96÷12=8台

  例3、一片青草,每天生长速度相等。这片青草可共10头牛吃20天,或共60只羊吃10天。如果1头牛吃的草量等于4 只羊吃的草量,那么10头牛与60只羊一起吃,可以吃多少天?

  先把题目进行转化。因为1头牛吃的草量等于4 只羊吃的草量。由此,题目可以转换成:这片青草可供(4×10)只羊吃20天,或供60只羊吃10天,问(4×10+60)只羊吃多少天?

  1、(4×10)只羊20天吃的草可供多少只羊一天?

  4×10×20=800只天

  2、60只羊10天吃的草可供多少只羊吃一天?

  60×10=600只天

  3、(20–10)天新长出的草可供多少只羊吃一天?

  800–600=200只

  4、每天的新长出的草可供多少只羊吃一天?

  200÷10=20只

  5、 20天新长出的草可供多少只羊吃一天?

  20×20=400只

  6、 原有草可供多少只羊吃一天?

  800–400=400只

  7、 可吃多少天?

  400÷(4×10+60–20)=5天

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  汉朝大将韩信善于用兵。据说韩信每当部队集合,他只要求部下士兵作1~3、1~5、1~7报数后,报告一下特各次的余数,便可知道出操公倍数和缺额。

  这个问题及其解法,大世界数学史上颇负盛名,中外数学家都称之为“孙子定理”或“中国剩余定理”。

  这类问题的解题依据是:

  1、 如果被除数增加(或减少)除数的若干倍,除数不变,那么余数不变。例如:

  20÷3=6……2

  (20-3×5)÷3=21……2

  (20+3×15)÷3=1……2

  2、 如果被除数扩大(缩小)若干倍,除数不变,那么余数也扩大(缩小)同样的倍数。例如:

  20÷9=2……2

  (20×3)÷9=6……6

  (20÷2)÷9=1……1

  例1、 一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2。求适合这些条件的最小的数。

  1、 求出能被5和7整除,而被3除余1的数,并把这个数乘以2。

  70×2=140

  2、 求出能被3和7整除,而被5除余1的数,并把这个数乘以3。

  21×3=63

  3、 求出能被5和3整除,而被7除余1的数,并把这个数乘以2。

  15×2=30

  4、 求得上面三个数的和

  140+63+30=233

  5、 求3、57的最小公倍数

  [3、5、7]=105

  6、 如果和大于最小公倍数,要从和里减去最小公倍数的若干倍

  233–105×2=23

  例2、 一个数除以3余2,除以5余2,除以7余4,求适合这些条件的最小的数。

  解法一:

  70×2+21×2+15×4=242

  [3、5、7]=105

  242–105×2=32

  解法二、

  35+21×2+15×4=137

  [3、5、7]=105

  137–105=32

  例3、 一个数除以5余3,除以6余4,除以7余1,求适合这些条件的最小的数。

  1、 因为[6、7]=42,而42÷5余2,根据第二个依据,42×4÷5应余8(2×4),实际余3,所以取42×4=168

  2、 因为[7、5]=35,而35÷6余5,则取35×2=70

  3、 [5、6]=30,30÷7余2,则取30×4=120

  4、 [5、6、7、]=210

  5、 168+70+120–210=148

  例4、 我国古代算书上有一道韩信点兵的算题:卫兵一队列成五行纵队,末行一人;列成六行纵队末行五人;列成七行纵队,末行四人;列成十一行纵队,末行十人。求兵数。

  1、[6、7、11]=462

  462÷5余2

  462×3÷5余1

  取462×3=1386

  2、[7、11、5]=385

  385÷6余5

  385×5÷6余5

  取385×5=1925

  3、[11、5、6]=330

  330÷7余1

  220×4÷7余4

  取330×4=1320

  4、[5、6、7]=210

  210÷11余1

  210×10÷11余10

  取210×10=2100

  5、求四个数的和

  1386+1925+1320+2100=6731

  6、[5、6、7、11]=2310

  7、6731–2310×2=2111

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叶俊
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