考研数学基础阶段该如何复习

　　考研数学是很多考生都比较头疼的考试科目，有许多的考察重点需要我们去复习好。小编为大家精心准备了考研数学基础阶段复习秘诀，欢迎大家前来阅读。

考研数学基础阶段该如何复习

　　考研数学基础阶段复习方法

　　▶考研数学整体解析

　　对于大部分考生而言，数学都是大家不得不重视的一个学科。因为对于大多数需要考三门公共课的考生来说，数学相对于另外两门是最难学，也是最难考的。数学的满分是150分，所以它的成绩对考研总成绩至关重要。根据专业的划分，现在考研数学主要有数一、数二、数三、数农、经济类联考和管理类联考六大类考卷类型，但是大部分同学是需要备考数一、数二和数三的，所以这里我们主要分析讨论这三类的不同。

　　从总体上来说，数一、数二、数三它们的区别主要有三个：

　　1.考生类别

　　根据研究生阶段的专业知识对大家数学能力的要求，这三类针对的考生类别是不同的。其中数一是对数学要求较高的理工类的学生需要考的;数二是对于数学要求低一些的农、林、地、矿、油等专业的学生需要考的;数三主要是针对管理、经济等方向的学生。由于经济类专业的热门，近几年来学三的考生是逐年增加;整体上看，数二的人数相对来说是最少的。

　　2.考试范围

　　对于这三类，数一和数三知识点涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计三个学科，其中比例分别是56%、22%、22%;数二考察高等数学和线性代数两个学科，其中比例分别是78%、22%。所以对于这三类，它们最大的区别就是对知识面的考查：数一的考点最多，基本上涵盖了高等数学中所有的知识点;数三次之，和数一相比它不考向量代数与空间解析几何，但是比数一和数二多了差分方程;数二的知识点是最少的，和数一相比它不考向量代数与空间解析几何、多元函数的微积分学、无穷级数和二次型等。对于相同的考点，数一、数二、数三的要求也不尽相同，需要具体知识点具体分析。

　　3.试题难度

　　因为专业的不同，它们三个的侧重点也会有所不同。理工类数学试卷对高等数学考查的要求最高，其重点是高数解题分析;经济类数学试卷，对线性代数、概率与数理统计要求高，考生应该把离散型二维随机变量及其分布作为复习重点。因为这三类的考试范围是不同的，某种程度上来说，数三比数一范围还要广一点，难度还要大一点;与数二相比，数三考试的范围要更广一些。从高等数学的角度来讲，数一当然是这三类数学中最难的，但是如果从概率论与数理统计的角度来讲，数三则要难一些。范围的大小从很大程度上也决定了复习投入精力的多少，从这个角度来说的话，数一最难，其次是数三，数二是最简单的。从历年考试题目来看，题目的难度也符合我们前面的分析：在考试中，数一题目偏难，数二题目较数一容易，数三题目的难度不比数一简单多少。

　　以上就是数一、数二、数三的主要区别。由于数学学科的特殊性，希望同学们对数学的复习一定要趁早。

　　▶考研数学的11大模块如何复习

　　高等数学分为5大知识模块：

　　1、一元微积分学;2、多元微积分学;3、曲线、曲面积分;4、无穷级数;5、微分方程。这里面的曲线、曲面积分是数一的同学特有的，其他内容是所有考数学的同学都要考查的。

　　线性代数分为3大知识模块：

　　1、行列式和矩阵;2、向量和线性方程组;3、特征值、特征向量和二次型。线性代数部分从考纲来看各个卷种的差别不大，近些年的变化也不大，是考研数学相对稳定的一部分考查内容。

　　概率论与数理统计分为3大知识模块：

　　1、概率、概率基本性质及简单的概型;2、随机变量及其分布与数字特征;3、统计基本概念、参数估计及假设检验，这部分是数二的同学不要求的，而数一和数三大纲的要求还是有些差距的，比如数一要求假设检验而数三不要求。

　　建议大家可以按下面提供的方法进行四个不同层次的归纳总结：

　　第一个层次是概念、性质、公式、定理及相关知识之间的联系、区别的归纳与总结。我们的方法是：首先按照自己认为的重要到次重要的顺序进行回忆，之后比照考试大纲所规定的考试内容，看自己有哪些遗漏了，从而形成完整的知识网络。我们还要对遗漏的知识点进行分析，要搞清楚这个知识点是由于和这个小的知识模块关系不紧密而没有联系起来，还是自己在复习过程中忽略了。

　　对于前一种情况大家不用放在心上，只要看一看这个知识点说的是什么意思就可以了，比如：在我们回忆一元微积分学时，如果没想起来曲率的概念，这关系不是很大，要知道和整个知识模块相对游离的知识点往往不是考研的重点，我们知道即可。可是对于那些本来很重要的知识点由于自己的忽视而没有想起来，这时我们要高度的重视起来了，这些知识应该是自己的相对弱点和盲点，对这些知识点的复习是我们是否能考出好成绩的关键!对这些知识点我们要想尽一切办法去理解，去练习，直到掌握了为止!在这一层次中大家要知道，考研中的重要的考点往往是不同部分的节点，这样的知识点可能联系着两个或多个的概念，是起桥梁作用的知识。

　　第二个层次是对题型的归纳总结。做完第一个层次的总结，我们只是把考研要考的一些小的知识点形成了一个知识的网络图，但我们还不知道考研是从什么角度，如何考查大家，这时我们要进行第二个层次的总结。我们归纳总结的方法是先根据自己看过的和做过的辅导材料凭记忆总结出若干的题型，之后比照自己所看的材料看自己总结的是否能涵盖复习材料中大部分的例题，另外，大家还可以参照专门讲题型的书，用自己总结的题型和复习材料上的进行对照，通过对照充实自己总结出来的题型。

　　第三个层次是对题型解法的归纳总结。有了第二个层次的归纳总结，我们对考研数学的畏惧心理都消失了，你已经知道了考研数学可能考你的方式、方法和角度了，现在要做的是对总结的题型进行解题方法的总结了。我们的方法是首先根据自己做过的一种题型的若干例题总结出典型的解题思路形成有效的解题程序和过程。对于一种题型我们可以从不同的例题中归纳出多种的方法和思路。之后，我们对照复习材料进行充实和改造自己归纳的解题思路和方法，尽可能多的把能用的思路和方法总结出来。

　　第四个层次是解题思路的升华。有了第三个层次的归纳总结，我们对自己遇到的题目就心中有底了，我们已经知道，一般的题目只要按照自己总结的方法一种一种的去试，基本上能把题目做出来，只不过我们的解题的速度不快，这时侯我们需要在第三个层次的基础上进行思路的升华，找到最好的对付一类题型的解题方法，提高我们的解题速度!我们的方法是在自己总结的方法中找最快捷和最适合自己发挥的解题思路，之后去找些有关题型的复习材料做些比较，再看看自己的方法和这些材料的方法哪个更适合自己。

　　考研数学高数重要定理证明汇总

　　高数定理证明之微分中值定理:

　　这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。

　　费马引理的条件有两个：1.f'(x0)存在2.f(x0)为f(x)的极值，结论为f'(x0)=0。考虑函数在一点的导数，用什么方法?自然想到导数定义。我们可以按照导数定义写出f'(x0)的极限形式。往下如何推理?关键要看第二个条件怎么用。“f(x0)为f(x)的极值”翻译成数学语言即f(x)-f(x0)<0(或>0)，对x0的某去心邻域成立。结合导数定义式中函数部分表达式，不难想到考虑函数部分的正负号。若能得出函数部分的符号，如何得到极限值的符号呢?极限的保号性是个桥梁。

　　费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理。若在微分中值定理这部分推举一个考频最高的，那罗尔定理当之无愧。该定理的条件和结论想必各位都比较熟悉。条件有三：“闭区间连续”、“开区间可导”和“端值相等”，结论是在开区间存在一点(即所谓的中值)，使得函数在该点的导数为0。

　　该定理的'证明不好理解，需认真体会：条件怎么用?如何和结论建立联系?当然，我们现在讨论该定理的证明是“马后炮”式的：已经有了证明过程，我们看看怎么去理解掌握。如果在罗尔生活的时代，证出该定理，那可是十足的创新，是要流芳百世的。

　　闲言少叙，言归正传。既然我们讨论费马引理的作用是要引出罗尔定理，那么罗尔定理的证明过程中就要用到费马引理。我们对比这两个定理的结论，不难发现是一致的：都是函数在一点的导数为0。话说到这，可能有同学要说：罗尔定理的证明并不难呀，由费马引理得结论不就行了。大方向对，但过程没这么简单。起码要说清一点：费马引理的条件是否满足，为什么满足?

　　前面提过费马引理的条件有两个——“可导”和“取极值”，“可导”不难判断是成立的，那么“取极值”呢?似乎不能由条件直接得到。那么我们看看哪个条件可能和极值产生联系。注意到罗尔定理的第一个条件是函数在闭区间上连续。我们知道闭区间上的连续函数有很好的性质，哪条性质和极值有联系呢?不难想到最值定理。

　　那么最值和极值是什么关系?这个点需要想清楚，因为直接影响下面推理的走向。结论是：若最值取在区间内部，则最值为极值;若最值均取在区间端点，则最值不为极值。那么接下来，分两种情况讨论即可：若最值取在区间内部，此种情况下费马引理条件完全成立，不难得出结论;若最值均取在区间端点，注意到已知条件第三条告诉我们端点函数值相等，由此推出函数在整个闭区间上的最大值和最小值相等，这意味着函数在整个区间的表达式恒为常数，那在开区间上任取一点都能使结论成立。

　　拉格朗日定理和柯西定理是用罗尔定理证出来的。掌握这两个定理的证明有一箭双雕的效果：真题中直接考过拉格朗日定理的证明，若再考这些原定理，那自然驾轻就熟;此外，这两个的定理的证明过程中体现出来的基本思路，适用于证其它结论。

　　以拉格朗日定理的证明为例，既然用罗尔定理证，那我们对比一下两个定理的结论。罗尔定理的结论等号右侧为零。我们可以考虑在草稿纸上对拉格朗日定理的结论作变形，变成罗尔定理结论的形式，移项即可。接下来，要从变形后的式子读出是对哪个函数用罗尔定理的结果。这就是构造辅助函数的过程——看等号左侧的式子是哪个函数求导后，把x换成中值的结果。这个过程有点像犯罪现场调查：根据这个犯罪现场，反推嫌疑人是谁。当然，构造辅助函数远比破案要简单，简单的题目直接观察;复杂一些的，可以把中值换成x，再对得到的函数求不定积分。

　　高数定理证明之求导公式:

　　2015年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的较为陌生。实际上，从授课的角度，这种在2015年前从未考过的基本公式的证明，一般只会在基础阶段讲到。如果这个阶段的考生带着急功近利的心态只关注结论怎么用，而不关心结论怎么来的，那很可能从未认真思考过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。这里给2017考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习，那些真题中未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。

　　当然，该公式的证明并不难。先考虑f(x)*g(x)在点x0处的导数。函数在一点的导数自然用导数定义考察，可以按照导数定义写出一个极限式子。该极限为“0分之0”型，但不能用洛必达法则，因为分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的，不能用!)。利用数学上常用的拼凑之法，加一项，减一项。这个“无中生有”的项要和前后都有联系，便于提公因子。之后分子的四项两两配对，除以分母后考虑极限，不难得出结果。再由x0的任意性，便得到了f(x)*g(x)在任意点的导数公式。

　　高数定理证明之积分中值定理:

　　该定理条件是定积分的被积函数在积分区间(闭区间)上连续，结论可以形式地记成该定积分等于把被积函数拎到积分号外面，并把积分变量x换成中值。如何证明?可能有同学想到用微分中值定理，理由是微分相关定理的结论中含有中值。可以按照此思路往下分析，不过更易理解的思路是考虑连续相关定理(介值定理和零点存在定理)，理由更充分些：上述两个连续相关定理的结论中不但含有中值而且不含导数，而待证的积分中值定理的结论也是含有中值但不含导数。

　　若我们选择了用连续相关定理去证，那么到底选择哪个定理呢?这里有个小的技巧——看中值是位于闭区间还是开区间。介值定理和零点存在定理的结论中的中值分别位于闭区间和开区间，而待证的积分中值定理的结论中的中值位于闭区间。那么何去何从，已经不言自明了。

　　若顺利选中了介值定理，那么往下如何推理呢?我们可以对比一下介值定理和积分中值定理的结论：介值定理的结论的等式一边为某点处的函数值，而等号另一边为常数A。我们自然想到把积分中值定理的结论朝以上的形式变形。等式两边同时除以区间长度，就能达到我们的要求。当然，变形后等号一侧含有积分的式子的长相还是挺有迷惑性的，要透过现象看本质，看清楚定积分的值是一个数，进而定积分除以区间长度后仍为一个数。这个数就相当于介值定理结论中的A。

　　接下来如何推理，这就考察各位对介值定理的熟悉程度了。该定理条件有二：1.函数在闭区间连续，2.实数A位于函数在闭区间上的最大值和最小值之间，结论是该实数能被取到(即A为闭区间上某点的函数值)。再看若积分中值定理的条件成立否能推出介值定理的条件成立。函数的连续性不难判断，仅需说明定积分除以区间长度这个实数位于函数的最大值和最小值之间即可。而要考察一个定积分的值的范围，不难想到比较定理(或估值定理)。

　　高数定理证明之微积分基本定理:

　　该部分包括两个定理：变限积分求导定理和牛顿-莱布尼茨公式。

　　变限积分求导定理的条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间连续，结论可以形式地理解为变上限积分函数的导数为把积分号扔掉，并用积分上限替换被积函数的自变量。注意该求导公式对闭区间成立，而闭区间上的导数要区别对待：对应开区间上每一点的导数是一类，而区间端点处的导数属单侧导数。花开两朵，各表一枝。我们先考虑变上限积分函数在开区间上任意点x处的导数。一点的导数仍用导数定义考虑。至于导数定义这个极限式如何化简，笔者就不能剥夺读者思考的权利了。单侧导数类似考虑。

　　“牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。”这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼茨公式在高数中举足轻重的作用。而多数考生能熟练运用该公式计算定积分。不过，提起该公式的证明，熟悉的考生并不多。

　　该公式和变限积分求导定理的公共条件是函数f(x)在闭区间连续，该公式的另一个条件是F(x)为f(x)在闭区间上的一个原函数，结论是f(x)在该区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值的差。该公式的证明要用到变限积分求导定理。若该公式的条件成立，则不难判断变限积分求导定理的条件成立，故变限积分求导定理的结论成立。

　　注意到该公式的另一个条件提到了原函数，那么我们把变限积分求导定理的结论用原函数的语言描述一下，即f(x)对应的变上限积分函数为f(x)在闭区间上的另一个原函数。根据原函数的概念，我们知道同一个函数的两个原函数之间只差个常数，所以F(x)等于f(x)的变上限积分函数加某个常数C。万事俱备，只差写一下。将该公式右侧的表达式结合推出的等式变形，不难得出结论。

　　考研数学全程三大阶段复习指导

　　▶第一阶段：夯实基础阶段

　　这个阶段主要是夯实基础，时间就是你开始备考的时间到2017的7月，每天3-4个小时，建议用一个上午、下午或者晚上的整块的时间来专门复习数学。

　　复习应根据历年考研数学大纲要求结合教材对应章节系统进行，要打好基础，特别是对大纲中要求的三基--基本概念、基本理论、基本方法要系统理解和掌握，完成从大学学习到考研备战的基础准备。在这个阶段把基础打扎实，是考验数学取得好成绩的前提。这个阶段，建议大家分为两轮来复习。

　　第一轮，精读材料：

　　时间是开始-6月中旬。这一阶段主要是复习教材，按大纲要求结合教材对应章节全面复习，按章节顺序完成教材的课后习题，通过练习掌握教材知识和内容。小编建议同学们每天学习新内容前先温习下前面的内容。教材的编写是循序渐进的，所以我们也要按照规律来复习，经过必要的重复会起到事半功倍的效果。

　　第二轮，练习测试以巩固基础知识：

　　时间是6月中旬到7月中旬，约1个月时间。这一阶段主要是练习测试、巩固所学知识。建议大家使用教材配套的复习指导书或习题集，通过做题来巩固知识，在练习过程中遇上不懂或似懂非懂的题目要认真对待，多思考，不要一看不会就直接看答案，应当先查看教材相关章节，把相关知识点彻底搞懂。建议按要求完成练习测试后，还要对教材的内容进行梳理，对重点、难点做好笔记，以便于后面复习把它消化掉。

　　▶第二阶段：强化巩固阶段

　　这一阶段主要是巩固第一阶段的学习成果。时间从7月到11月初，约4个月时间，每天保证3小时以上。通过对辅导材料和真题的学习，了解考试难度和明确考试方向，进行专项复习提高自己的解题效率和质量。

　　本阶段是考研复习的重点，对考研成绩起决定性作用。小编建议分为三轮学习。

　　第一轮：学习时间是7月到8月底两个月，主要任务是完整的、认真研读一遍考研辅导书和分析2套考研真题，全面了解考查内容，熟悉考研数学的重点题型以及其解题方法。

　　第二轮：大概用一个月的时间也就是9月10月初一个多月，主要考研辅导书与专项模拟题、真题或习题的复习，对考试重点题型和自己薄弱的内容进行攻坚复习。

　　第三轮：本阶段的最后时间段，时间是10初到11月初。主要是学习笔记的梳理和套题的训练，检测你的解题速度和准确率，查漏补缺、薄弱加强，目的是巩固基础提高能力。

　　▶第三阶段：决胜冲刺阶段

　　这一阶段已经进入最后的冲刺了。时间从11月到考前，约二个月。小编认为在这一阶段，我们要通过对以往学习笔记的复习全面掌握考试要求，并进行高强度的冲刺题训练，进入考试状态，达到考试要求。要做到：

　　1、通过做题进总结和梳理(做题训练应当重点放在按考试要求的套题上);

　　2、复习知识点，对基本概念、基本公式、基本定理进行记忆，尤其是平常不常用的、记忆模糊的公式，经常出错的要重点记忆;

　　3、保持水平和状态，复习和做题一定要坚持到考前;

　　4、进行补缺补漏，轻松应考。

　　对于以上三个阶段的学习，主要以自学为主。基础不好或者需要拿高分的同学生可以参加辅导班。每次辅导班上课之前，建议同学们把老师准备讲的内容先预习，这样听课的时候才能有所侧重，才能抓住重点。听课的时候不仅要听老师讲一些例题，更要听老师归纳总结的一些解题方法和技巧。

　　一个阶段的复习结束后，同学们可以和周围的考生互相交流、互相切磋解题的方法和技巧，并适当做全面的总结。

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