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考研数学三类行列式计算分析

时间:2017-11-25 13:45:03 考研资讯 我要投稿

考研数学三类行列式计算分析

  行列式是线性代数的重要考察点,出题比较灵活,考生需熟练掌握。小编为大家精心准备了考研数学三类行列式计算指南,欢迎大家前来阅读。

考研数学三类行列式计算分析

  考研数学三类行列式计算解析

  对于数值型行列式来说,我们先看低阶行列式的计算,对于二阶或者三阶行列式其是有自己的计算公式的,我们可以直接计算。三阶以上的行列式,一般可以运用行列式按行或者按列展开定理展开为低阶行列式再进行计算,对于较复杂的三阶行列式也可以考虑先进行展开。在运用展开定理时,一般需要先利用行列式的性质将行列式化为某行或者某列只有一个非零元的形式,再进行展开。特殊低阶行列式可以直接利用行列式的性质进行求解。

  对于高阶行列式的计算,我们的基本思路有两个:一是利用行列式的性质进行三角化,也就是将行列式化为上三角或者下三角行列式来计算;二是运用按行或者按列直接展开,其中运用展开定理的行列式一般要求有某行或者某列仅有一个或者两个非零元,如果展开之后仍然没有降低计算难度,则可以观察是否能得到递推公式,再进行计算。其中在高阶行列式中我是用加边法把其最终化为上(下)三角,或者就直接按行或者列直接展开了,展开后有的时候就直接是上或者下三角形行列式了,但有时其还不是上下三阶,可能就要用到递推的类型来处理此类题目了。总之,我们对于高阶行列式要求不是很高,只要掌握几种常见的情形的计算方法就可以了。

  有的时候,对于那些比较特殊的形式,比如范德蒙行列式的类型,我们就直接把它凑成此类行列式,然后利用范德蒙行列式的计算公式就可以了,但是,我们一定要把范德蒙行列式的形式,一阶其计算方法给它掌握住,我们在上课时也给同学们讲解了其记忆的方面,希望同学们课下多多做些练习题进行巩固。

  当然对于行列式我们有时可能还会用到克莱默法则和拉普拉斯展开来计算,只是这些都是些特殊的行列式的计算,其有一定的局限性,比如1995年数三就考到了一题用克莱默法则来处理的填空题。

  对于抽象型行列式来说,其计算方法就有可能是与后面的知识相结合来处理的。关于抽象型行列式的计算:(1)利用行列式的性质来计算,这里主要是运用单行(列)可拆性来计算的,这种大多是把行列式用向量来表示的,然后利用单行或者列可拆性,把它拆开成多个行列式,然后逐个计算,这时一部分行列式可能就会出现两行或者列元素相同或者成比例了,这样简化后便可求出题目中要求的行列式。(2)利用矩阵的性质及运算来计算,这类题,主要是用两个矩阵相乘的行列式等于两个矩阵分别取行列式相乘,这里当然要求必须是方阵才行。这类题目的解题思路就是利用已知条件中的式子化和差为乘积的形式,进而两边再取行列式,便可得到所求行列式。之前很多年考研中都出现过此类填空或者选择题。因此,此类题型同学们务必要掌握住其解题思路和方法,多做练习加以巩固。

  (3)利用单位矩阵的来求行列式,这类题目难度比前面题型要大,对矩阵的相关性质和结论要求比较高。早在1995年数一的考研试卷中出现过一题6分的解答题,这题就是要利用A乘以A的转置等于单位矩阵E这个条件来代换的,把要求的式子中的单位矩阵换成这个已知条件来处理的。

  (4)利用矩阵特征值来求行列式,这类题在考研中出现过很多次,利用矩阵的特征值与其行列式的关系来求行列式,即行列式等于矩阵特征值之积,这种方法要求同学们一定要掌握住,课下要多做些练习加以巩固。

  考研高数中值定理证明的几种方法

  中值定理包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、格西中值定理、泰勒中值定理,这四个定理之间的联和区别要弄清楚,罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。除泰勒定理外的三个定理都要求已知函数在某个闭区间上连续,对应开区间内可导。柯西中值定理涉及到两个函数,在分母上的那个函数的一阶导在定义域上要求不为零,柯西中值定理还有一个重要应用——洛必达法则,在求极限时会经常用到。而且同学们需要掌握的不单单是这五个中值定理,而且关于他们本身的证明也是需要重点掌握的`,尤其是费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、格西定理的证明过程,这个过程在教科书上都有证明的过程,同学们需要自己把这个都完全能够掌握,不仅仅是因为在09年的真题考查过这个的证明,而是这几个的证明思想是之后类似题目证明反复使用的。而闭区间上的连续定理主要是指的最值定理、介值定理、零点存在定理。

  一般来讲闭区间上连续的定理是直接用的,也就是用来直接证明一些类似与存在一点在某个区间内使得某个函数是等于零的。而中值定理的应用一般是需要通过构造函数的,一般来讲都是三步走,第一步去构造函数,合理的去构造函数是能够做出这个证明题目最最关键的一步,而构造函数的方法一般是通过对要求的那个等式积分得到,同时也要注意两遍同时乘以一个函数,比如同时乘以ex,因为这个函数积分是不变的,所以会有这个。构造完成后就是第二步去检验条件,看是用那个定理,一般来讲,如果是求一阶的导数等于0优先想到的就是罗尔定理,如果是让你求高阶的一个式子等于零或者等于某个式子,那么优先想到的就是泰勒公式了,因为上面的五个中值定理中,只有泰勒公式是会涉及到高阶的,其他的几个都是一阶,如果知道的是一阶,最多也是求解二阶的。第三步就是求导验证自己求出来的是否是要求证明的结果。

  考研数学历年考的最多的7个知识点

  1、两个重要极限,未定式的极限、等价无穷小代换

  这些小的知识点在历年的考察中都比较高。而透过我们分析,假如考极限的话,主要考的是洛必达法则加等价无穷小代换,特别针对数三的同学,这儿可能出大题。

  2、处理连续性,可导性和可微性的关系

  要求掌握各种函数的求导方法。比如隐函数求导,参数方程求导等等这一类的,还有注意一元函数的应用问题,这也是历年考试的一个重点。数三的同学这儿结合经济类的一些试题进行考察。

  3、微分方程:一是一元线性微分方程,第二是二阶常系数齐次/非齐次线性微分方程

  对第一部分,考生需要掌握九种小类型,针对每一种小类型有不同的解题方式,针对每个不同的方程,套用不同的公式就行了。对于二阶常系数线性微分方程大家一定要理解解的结构。另一块对于非齐次的方程来说,考生要注意它和特征方程的联系,有齐次为方程可以求它的通解,当然给出的通解大家也要写出它的特征方程,这个变化是咱们这几年的一个趋势。这一类问题就是逆问题。

  对于二阶常系数非齐次的线性方程大家要分类掌握。当然,这一块对于数三的同学来说,还有一个差分方程的问题,差分方程不作为咱们的一个重点,而且提醒大家一下,学习的时候要注意,差分方程的解题方式和微方程是相似的,学习的时候要注意这一点。

  4、级数问题,主要针对数一和数三

  这部分的重点是:一、常数项级数的性质,包括敛散性;二、牵扯到幂级数,大家要熟练掌握幂级数的收敛区间的计算,收敛半径与和函数,幂级数展开的问题,要掌握一个熟练的方法来进行计算。对于幂级数求和函数它可能直接给咱们一个幂级数求它的和函数或者给出一个常数项级数让咱们求它的和,要转化成适当的幂级数来进行求和。

  5、一维随机变量函数的分布

  这个要重点掌握连续性变量的这一块。这里面有个难点,一维随机变量函数这是一个难点,求一元随机变量函数的分布有两种方式,一个是分布函数法,这是最基本要掌握的。另外是公式法,公式法相对比较便捷,但是应用范围有一定的局限性。

  6、随机变量的数字特征

  要记住一维随机变量的数字特征都要记熟,数字特征很少单独性考察,往往和前面的一维随机变量函数和多维随机变量函数和第六章的数理统计结合进行考察。特别针对数一的同学来说,考察矩估计和最大似然估计的时候会考察无偏性。

  7、参数估计

  这一点是咱们经常出大题的地方,这一块对咱们数一,数二,数三的考生来讲,包含两块知识点,一个是矩估计,一个是最大似然估计,这两个集中出大题。


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