中考数学动态型问题试题梳理

　　1.(2012江苏苏州，18，3分)如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止.已知△PAD的面积S(单位：cm2)与点P移动的时间(单位：s)的函数如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了 (4+2) 秒(结果保留根号).

中考数学动态型问题试题梳理

　　分析：根据图②判断出AB、BC的长度，过点B作BE⊥AD于点E，然后求出梯形ABCD的高BE，再根据t=2时△PAD的面积求出AD的长度，过点C作CF⊥AD于点F，然后求出DF的长度，利用勾股定理列式求出CD的长度，然后求出AB、BC、CD的和，再根据时间=路程÷速度计算即可得解.

　　解答：解：由图②可知，t在2到4秒时，△PAD的面积不发生变化，

　　∴在AB上运动的时间是2秒，在BC上运动的时间是4﹣2=2秒，

　　∵动点P的运动速度是1cm/s，

　　∴AB=2cm，BC=2cm，

　　过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，

　　则四边形BCFE是矩形，

　　∴BE=CF，BC=EF=2cm，

　　∵∠A=60°，

　　∴BE=ABsin60°=2×=，

　　AE=ABcos60°=2×=1，

　　∴×AD×BE=3，

　　即×AD×=3，

　　解得AD=6cm，

　　∴DF=AD﹣AE﹣EF=6﹣1﹣2=3，

　　在Rt△CDF中，CD===2，

　　所以，动点P运动的总路程为AB+BC+CD=2+2+2=4+2，

　　∵动点P的运动速度是1cm/s，

　　∴点P从开始移动到停止移动一共用了(4+2)÷1=4+2(秒).

　　故答案为：(4+2).

　　点评：本题考查了动点问题的函数图象，根据图②的三角形的面积的变化情况判断出AB、BC的长度是解题的关键，根据梯形的问题中，经常作过梯形的上底边的两个顶点的高线作出辅助线也很关键.

　　2.(2012贵州省毕节市，23，12分)如图①，有一张矩形纸片，将它沿对角线AC剪开，得到△ACD和△A′BC′.

　　(1)如图②，将△ACD沿A′C′边向上平移，使点A与点C′重合，连接A′D和BC，四边形A′BCD是形;

　　(2)如图③，将△ACD的顶点A与A′点重合，然后绕点A沿逆时针方向旋转，使点D、A、B在同一直线上，则旋转角为度;连接CC′，四边形CDBC′是形;

　　(3)如图④，将AC边与A′C′边重合，并使顶点B和D在AC边的同一侧，设AB、CD相交于E，连接BD，四边形ADBC是什么特殊四边形?请说明你的理由。

　　第23题图

　　解析：(1)利用平行四边形的判定，对角线互相平分的四边形是平行四边形得出即可;(2)利用旋转变换的性质以及直角梯形判定得出即可;(3)利用等腰梯形的判定方法得出BD∥AC，AD=CE，即可得出答案.

　　解案：解：(1)平行四边形;

　　证明：∵AD=AB，AA′=AC，∴A′C与BD互相平分，

　　∴四边形A′BCD是平行四边形;

　　(2)∵DA由垂直于AB，逆时针旋转到点D、A、B在同一直线上，

　　∴旋转角为90度;

　　证明：∵∠D=∠B=90°，A，D，B在一条直线上，

　　∴CD∥BC′，∴四边形CDBC′是直角梯形;

　　故答案为：90，直角梯;

　　(3)四边形ADBC是等腰梯形;

　　证明：过点B作BM⊥AC，过点D作DN⊥AC，垂足分别为M，N，

　　∵有一张矩形纸片，将它沿对角线AC剪开，得到△ACD和△A′BC′.∴△ACD≌△A′BC′，∴BM=ND，∴BD∥AC，

　　∵AD=BC，∴四边形ADBC是等腰梯形.

　　点评：此题主要考查了图形的剪拼与平行四边形的判定和等腰梯形的判定、直角梯形的判定方法等知识，熟练掌握判定定理是解题关键.

　　3.(2012年广西玉林市，26，12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是(0，4)，现有两动点P，Q，点P从点O出发沿线段OC(不包括端点O，C)以每秒2个单位长度的'速度匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD(不包括端点C、D)以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同时停止.设运动的时间为t(秒)，当t=2(秒)时，PQ=.

　　(1)求点D的坐标，并直接写出t的取值范围;

　　(2)连接AQ并延长交x轴于点E，把AE沿AD翻折交CD延长线于点F，连接EF，则△AEF的面积是否随t的变化而变化?若变化，求出与t的函数关系式;若不变化，求出的值.

　　(3)在(2)的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形?

　　解：(1)设OC=，当t=2时，OP=4，PC=-4;CQ=2.

　　在Rt△PQC中，，,解得(不合题意，舍去)，，∴D点坐标(8，4);

　　(2)由翻折可知，点Q和点F关于直线AD对称，∴QD=DF=4-t，而AD=8，∴.

　　设经过A(0，4)、Q(8，t)两点的一次函数解析式为，故有：

　　，解得，∴一次函数的解析式为，易知一次函数与轴的交点的坐标为(，0)，∴EC=-8，∴，

　　∴.∴△AEF的面积不随t的变化而变化，的值为32.

　　(3)因AP与QF不平行，要想使四边形APQF是梯形，须有PQ∥AF.

　　∵AF=AQ，∴∠AFQ=∠AQF，而∠CQE=∠AQF，要想PQ∥AF，须有∠AFQ=∠PQC，故只需具备条件∠PQC=∠CQE，又∵QC⊥PE，∴∠CQP=∠QCE，QC=QC，∴△CQP≌△QCE，∴PC=CE，即8-2t=-8，解得(不合题意，舍去)，故当时，四边形APQF是梯形.

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