九年级数学下册第二章二次函数检测试题
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.(2015•甘孜州)二次函数y=x2+4x-5的图象的对称轴为( )
A.x=4, B.x=-4, C.x=2, D.x=-2
2. (2015•荆州)将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为( )
A.y=(x-1)2+4 B.y=(x-4)2+4 C.y=(x+2)2+6 D.y=(x-4)2+6
3. (2015•乐山)二次函数y=-x2+2x+4的最大值为( )
A.3, B.4, C.5, D.6
4. (2015•锦州)在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是( )
A. , B. , C. , D.
5.(2014秋•x疆期中)已知抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上，则c等于( )
A.4, B.8, C.-4, D.16
6.对于函数 ，使得 随 的增大而增大的 的取值范围是( )
A.x>-1 B.x>0 C.x<0 D.x<-1
7.(2015•兰州中考)二次函数y=a +bx+c的图象如图所示，点C在y轴的正半轴上，且OA=OC，则( )
A.ac+1=b B.ab+1=c C.bc+1=a D.以上都不是
8.(2015•陕西中考)下列关于二次函数y=a -2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断，正确的是( ) 第7题图
A.没有交点
B.只有一个交点，且它位于y轴右侧
C.有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D.有两个交点，且它们均位于y轴右侧
9. (2015•浙江金华中考)图②是图①中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y= - +16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴.若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为( )
① ②
第9题图
A.16 米 B. 米 C.16 米 D. 米
10.(重庆中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对
称轴为直线x= .下列结论中，正确的是( )
A.abc>0 B.a+b=0
C.2b+c>0 D.4a+c<2b
二、填空题(每小题3分，共24分)
11.(苏州中考)已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数y=(x 1)2+1的图象上，若x1>x2>1，则y1 y2(填“>”“=”或“<”).
12.(2014•安徽中考)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数表达式为y= .
13(2015•黑龙江绥化中考)把二次函数y= 的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式是________.
14.(2014•杭州中考)设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线对称轴的距离等于1，则抛物线的函数表达式为 .
15.(湖北襄阳中考)某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间x(单位：s)之间的函数表达式是y=60x 1.5x2，该型号飞机着陆后需滑行 m才能停下来.
16.设 三点依次分别是抛物线 与 轴的交点以及与 轴的两个交点，则△ 的面积是 .
17.(河南中考)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点.若点A的坐标为(-2，0)，抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为 .
18.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴为直线 ;
乙：与 轴两个交点的横坐标都是整数;
丙：与 轴交点的纵坐标也是整数.
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式__________________.
三、解答题(共66分)
19.(7分)把抛物线 向左平移2个单位长度，同时向下平移1个单位长度后，恰好与抛物线 重合.请求出 的值，并画出函数的示意图.
20.(7分)炮弹的运行轨道若不计空气阻力是一条抛物线.现测得我军大炮A与射击目标B的水平距离为600 m，炮弹运行的最大高度为1 200 m.
(1)求此抛物线的表达式.
(2)若在A、B之间距离A点500 m处有一高350 m的障碍物，计算炮弹能否越过障碍物.
21.(8分)某商店进行促销活动，如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大?并求出最大利润.
22.(8分)已知二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+ 在x=0和x=2时的函数值相等.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若一次函数y=kx+6(k≠0)的图象与二次函数的图象都经过点A( 3,m)，求m和k的值.
23.(8分)(哈尔滨中考)小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化.
(1)请直接写出S与x之间的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围).
(2)当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?(参考公式：当x= 时，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有最小(大)值
24.(8分)如图所示，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE、ED、DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐 标系.
(1)求抛物线的表达式;
(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间t(单位：时)的变化满足函数关系h= 9)2+8(0≤t≤40)，且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明在这一时段内，需多少小时禁止船只通行?
25.(10分)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB=x m.
(1)若花园的面积为192 m2，求x的值;
(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值.
26.(10分)已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数).
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点.
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?
第二章 二次函数检测题参考答案
一、选择题
1. D 2.B 3.C 4.C 5.D 6.D 7. A 8.D 9. B 10. D
二、填空题
11.> 解析:∵ a=1>0，对称轴为直线x=1，∴ 当x>1时，y随x的增大而增大.故由x1>x2>1可得y1>y2.
12. a(1+x)2 解析：二月份新产品的研发资金为a(1+x)元，因为每月新产品的研发资金的增长率都相等，所以三月份新产品的研发资金为a(1+x)(1+x)元，即a(1+x)2元.
13. 或 (答出这两种形式中任意一种均得分)
解析：根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”可得，平移后的抛物线的表达式为 .
14.y= x2- x+2或y=- x2+ x+2 解析：由题意知抛物线的对称轴为直线x=1或x=3.
(1)当对称轴为直线x=1时，b=-2a，抛物线经过A(0，2)，B(4，3)，
∴ 解得 ∴ y= x2- x+2.
(2)当对称轴为直线x=3时，b=-6a，抛物线经过A(0，2)， B(4，3)，
∴ 解得 ∴ y=- x2+ x+2.
∴ 抛物线的函数表达式为y= x2- x+2或y=- x2+ x+2.
15. 600 解析:y=60x 1.5x2= 1.5(x 20)2+600,当x=20时,y最大值=600，则该型号飞机着陆时需滑行600 m才能停下来.
16. 解析:令 ，令 ，得 ，
所以 ，
所以△ 的面积是 .
17. 8 解析：因为点A到对称轴的距离为4，且抛物线为轴对称图形，所以AB=2×4=8.
18. 解析：本题答案不唯一，只要符合题意即可，如
三、解答题
19.解:将 整理，得 .
因为抛物线 向左平移2个单位长度，
再向下平移1个单位长度，得 ，
所以将 向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得 ，故 ，
所以 .示意图如图所示.
20.解:(1)建立平面直角坐标系，设点A为原点，
则抛物线过点(0，0)，(600，0)，
从而抛物线的对称轴为直线 .
又抛物线的最高点的纵坐标为1 200，
则其顶点坐标为(300，1 200)，
所以设抛物线的表达式为 ，
将(0，0)代入所设表达式，得 ，
所以抛物线的表达式为 .
(2)将 代入表达式，得 ，
所以炮弹能越过障碍物.
21.分析：日利润=销售量×每件利润，每件利润为 元，销售量为[ 件，据此得表达式.
解：设售价定为 元/件.
由题意得， ，
∵ ，∴ 当 时， 有最大值360.
答：将售价定为14元/件时，才能使每天所赚的利润最大，最大利润是360元.
22.分析：(1)根据抛物线的对称轴为直线x= =1,列方程求t的值，确定二次函数表达式.
(2)把x= 3,y=m代入二次函数表达式中求出m的值，再代入y=kx+6中求出k的值.
解：(1)由题意可知二次函数图象的对称轴为直线x=1，
则 =1，∴ t= .∴ y= x2+x+ .
(2)∵ 二次函数图象必经过A点，
∴ m= ×( )2+( 3)+ = 6.
又一次函数y=kx+6的图象经过A点，∴ 3k+6= 6,∴ k=4.
23.分析：(1)由三角形面积公式S= 得S与x之间的表达式为S= •x(40 x)= x2+20x.
(2)利用二次函数的性质求三角形面积的最大值.
解：(1)S= x2+20x.
(2)方法1：∵ a= <0,∴ S有最大值.
∴ 当x= = =20时，S有最大值为 = =200.
∴ 当x为20 cm时,三角形面积最大，最大面积是200 cm2.
方法2：∵ a= <0,∴ S有最大值.
∴ 当x= = =20时，S有最大值为S= ×202+20×20=200.
∴ 当x为20 cm时，三角形面积最大，最大面积是200 cm2..
点拨：最值问题往往转化为求二次函数的最值.
24.分析：(1)设抛物线的表达式为y=ax2+b(a≠0),将(0,11)和(8，8)代入即可求出a,b;
(2)令h=6,解方程 (t 19)2+8=6得t1,t2，所以当h≥6时，禁止船只通行的时间为
|t2-t1|.
解：(1)依题意可得顶点C的坐标为(0，11)，设抛物线表达式为y=ax2+11.
由抛物线的对称性可得B(8,8),
∴ 8=64a+11，解得a= ,∴ 抛物线表达式为y= x2+11.
(2)画出h= (t-19)2+8(0≤t≤40)的图象如图所示.
当水面到顶点C的距离不大于5米时，
h≥6,当h=6时，解得t1=3,t2=35.
由图象的变化趋势得，禁止船只通行的'时间为|t2-t1|=32(小时).
答：禁止船只通行的时间为32小时.
点拨：(2)中求出符合题意的h的取值范围是解题的关键，本题考查了二次函数在实
际问题中的应用.
25.分析：(1)根据矩形的面积公式列出方程x(28-x)=192，解这个方程求出x的值即可.
(2)列出S与x的二次函数表达式，根据二次函数的性质求S的最大值.
解：(1)由AB=x m，得BC=(28-x)m，根据题意，得x(28-x)=192，解得x1=12，x2=16.
答：若花园的面积为192 m2，则x的值为12或16.
(2)S=x(28-x)=-x2+28x=-(x-14)2+196，
因为x≥6，28-x≥15，所以6≤x≤13.
因为a=-1<0，所以当6≤x≤13时，S随x的增大而增大，
所以当x=13时，S有最大值195 m2.
点拨：求实际问题中的最大值或最小值时，一般应该列出函数表达式，根据函数的性质求解.在求最大值或最小值时，应注意自变量的取值范围.
26.分析：(1)求出根的判别式，根据根的判别式的符号，即可得出答案;
(2)先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质进行解答.
(1)证法1：因为(-2m)2-4(m2+3)=-12<0，
所以方程x2-2mx+m2+3=0没有实数根，
所以不论m为何值，函数y=x2-2mx+m2+3的图象与x轴没有公共点.
证法2：因为a=1>0，所以该函数的图象开口向上.
又因为y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3≥3，
所以该函数的图象在x轴的上方.
所以不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点.
(2)解：y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3，
把函数y=(x-m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=(x-m)2的图象，它的顶点坐标是(m，0)，
因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点.
所以把函数y=x2-2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.
点拨：二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间的关系.Δ=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数，当Δ=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点;当Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点;当Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.
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