2017九年级数学上第一次月考模拟试卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是( )
A.y=3x﹣1 B.y=ax2+bx+c C.y=2t2+1 D.y=x2+
2.在下列二次函数中，其图象对称轴为x=﹣2的是( )
A.y=(x+2)2 B.y=2x2﹣2 C.y=﹣2x2﹣2 D.y=2(x﹣2)2
3.二次函数y=(x﹣1)2+2的最小值是( )
A.﹣2 B.2 C.﹣1 D.1
4.将抛物线y=(x﹣2)2+2向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，抛物线的解析式为( )
A.y=x2+3 B.y=x2﹣1 C.y=x2﹣3 D.y=(x+2)2﹣3
5.已知抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2﹣m+2012的值为( )
A.2012 B.2013 C.2014 D.2015
6.若抛物线y=(x﹣a)2+(a﹣1)的顶点在第一象限，则a的取值范围为( )
A.a>1 B.a>0 C.a>﹣1 D.﹣1
7.军事演习时发射一颗炮弹，经xs后炮弹的高度为ym，且时间x(s)与高度y(m)之间的函数关系为y=ax2+bx(a≠0)，若炮弹在第8s与第14s时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的( )
A.第9s B.第11s C.第13s D.第15s
8.已知二次函数y=﹣x2+2x+3，当x≥2时，y的取值范围是( )
A.y≥3 B.y≤3 C.y>3 D.y<3
9.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，点C在y轴的正半轴上，且OA=OC，则( )
A.ac+1=b B.ab+1=c C.bc+1=a D.以上都不是
10.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，满分16分)
11.如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y=﹣3x2，②y=﹣ ，③y=﹣x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是 (填序号)
12.已知二次函数y=﹣x2+4x﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，则△ABC的面积为 .
13.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=﹣ (x﹣4)2+3，由此可知铅球推出的距离是 m.
14.二次函数y=x2+x+c的图象与x轴有两个交点A(x1，0)、B(x2，0)，且x1x2时，n>0;③当n<0时，x10时，x
三、本大题共2小题，每小题8分，共16分
15.用配方法或公式法求二次函数 的对称轴、顶点坐标和最值.
16.已知当x=1时，二次函数有最大值5，且图象过点(0，﹣3)，求此函数关系式.
四、本大题共2小题，每小题8分，共16分
17.已知抛物线y=﹣ + 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若点D是AB的中点，求CD的长.
18.如图是一座抛物线拱形桥，在正常水位时，水面AB宽是20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这是水面宽度为10m，请构建适当的水平直角坐标系求抛物线所对应的函数表达式，并求水位到达警戒线时拱顶与水面之间的距离.
五、本大题共2小题，每小题12分，共20分
19.如图，O，B，C三点均在二次函数y= 的图象上，点O为坐标原点，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，试求菱形OBAC的面积.
20.已知抛物线yn=﹣(x﹣an)2+an(n为正整数，且0
(1)求a1，b1的值及抛物线y2的解析式;
(2)抛物线y3的顶点坐标为( ， );依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为( ， );所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系是 .
六、本题满分12分
21.已知二次函数y=ax2+b的图象与直线y=x+2相交于点A(1，m)和点B(n，0).
(1)试确定二次函数的解析式;
(2)在给出的平面直角坐标系中画出这个函数图象的草图，并结合图象直接写出ax2+b>x+2时x的取值范围.
七、本题，满分12分
22.超市市场部整理出销售某品牌新款童装的销售量与销售单价的相关信息如下：
已知该童装的进价为每件60元，设销售单价为x元，销售单价不低于进价，且获利不得高于45%，设销售该款童装的利润为W元.
(1)求利润W与销售单价x之间的关系式，并求销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元?
(2)若超市销售该款童装获得的利润不低于500元，试确定销售单价x的范围.
八、本题满分14分
23.如图，将一块三角板放在平面直角坐标系中，已知∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为(2，0).
(1)求点B的坐标;
(2)若二次函数y=ax2+bx的图象经过A，B，O三点，试确定此二次函数的解析式;
(3)在(2)中的二次函数图象的OB段(不包括点O，B)上，是否存在一点C，使得△OBC的面积最大?若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标;若不存在，请说明理由.
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是( )
A.y=3x﹣1 B.y=ax2+bx+c C.y=2t2+1 D.y=x2+
【考点】二次函数的定义.
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数进行分析.
【解答】解：A、是一次函数，故此选项错误;
B、当a≠0时，是二次函数，故此选项错误;
C、是二次函数，故此选项正确;
D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误;
故选：C.
【点评】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件.
2.在下列二次函数中，其图象对称轴为x=﹣2的是( )
A.y=(x+2)2 B.y=2x2﹣2 C.y=﹣2x2﹣2 D.y=2(x﹣2)2
【考点】二次函数的性质.
【分析】根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项.
【解答】解：y=(x+2)2的对称轴为x=﹣2，A正确;
y=2x2﹣2的对称轴为x=0，B错误;
y=﹣2x2﹣2的对称轴为x=0，C错误;
y=2(x﹣2)2的对称轴为x=2，D错误.
故选：A.
【点评】本题考查的是二次函数的性质，正确求出二次函数图象的对称轴是解题的关键.
3.二次函数y=(x﹣1)2+2的最小值是( )
A.﹣2 B.2 C.﹣1 D.1
【考点】二次函数的最值.
【分析】考查对二次函数顶点式的理解.抛物线y=(x﹣1)2+2开口向上，有最小值，顶点坐标为(1，2)，顶点的纵坐标2即为函数的'最小值.
【解答】解：根据二次函数的性质，当x=1时，二次函数y=(x﹣1)2+2的最小值是2.
故选：B.
【点评】求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法.
4.将抛物线y=(x﹣2)2+2向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，抛物线的解析式为( )
A.y=x2+3 B.y=x2﹣1 C.y=x2﹣3 D.y=(x+2)2﹣3
【考点】二次函数图象与几何变换.
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线y=(x﹣2)2+2的顶点坐标为(2，2)，再利用点平移的规律得到点(2，2)平移后所得对应点的坐标为(0，﹣1)，然后利用顶点式写出平移后抛物线的解析式.
【解答】解：抛物线y=(x﹣2)2+2的顶点坐标为(2，2)，把点(2，2)先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度所得对应点的坐标为(0，﹣1)，所以所得到的抛物线的解析式为y=x2﹣1.
故答案为y=x2﹣1.
故选B.
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.
5.已知抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2﹣m+2012的值为( )
A.2012 B.2013 C.2014 D.2015
【考点】抛物线与x轴的交点.
【分析】把点(m，0)代入抛物线解析式求出m2﹣m，再代入代数式计算即可得解.
【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为(m，0)，
∴m2﹣m﹣2=0，
解得m2﹣m=2，
∴m2﹣m+2012=2+2012=2014.
故选：C.
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据函数图象上点的坐标满足函数解析式求出m2﹣m的值是解题的关键.
6.若抛物线y=(x﹣a)2+(a﹣1)的顶点在第一象限，则a的取值范围为( )
A.a>1 B.a>0 C.a>﹣1 D.﹣1
【考点】二次函数的性质.
【分析】求得抛物线y=(x﹣a)2+(a﹣1)的顶点在第一象限，即可得出a的取值范围.
【解答】解：∵物线y=(x﹣a)2+(a﹣1)的顶点在第一象限，
∴ ，
∴a的取值范围为a>1，
故选A.
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的顶点坐标的求法是解题的关键.
7.军事演习时发射一颗炮弹，经xs后炮弹的高度为ym，且时间x(s)与高度y(m)之间的函数关系为y=ax2+bx(a≠0)，若炮弹在第8s与第14s时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的( )
A.第9s B.第11s C.第13s D.第15s
【考点】二次函数的应用.
【分析】由于炮弹在第8s与第14s时的高度相等，即x取8和14时y的值相等，根据抛物线的对称性可得到抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=8+ =11，然后根据二次函数的最大值问题求解.
【解答】解：∵x取6和14时y的值相等，
∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=8+ =11，
即炮弹达到最大高度的时间是11s.
故选：B.
【点评】本题考查了二次函数的应用：先通过题意确定出二次函数的解析式，然后根据二次函数的性质解决问题;实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围.
8.已知二次函数y=﹣x2+2x+3，当x≥2时，y的取值范围是( )
A.y≥3 B.y≤3 C.y>3 D.y<3
【考点】二次函数的性质.
【分析】先求出x=2时y的值，再求顶点坐标，根据函数的增减性得出即可.
【解答】解：当x=2时，y=﹣4+4+3=3，
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，
∴当x>1时，y随x的增大而减小，
∴当x≥2时，y的取值范围是y≤3，
故选B.
【点评】本题考查了二次函数的性质的应用，能理解二次函数的性质是解此题的关键，数形结合思想的应用.
9.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，点C在y轴的正半轴上，且OA=OC，则( )
A.ac+1=b B.ab+1=c C.bc+1=a D.以上都不是
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【专题】数形结合.
【分析】根据图象易得C(0，c)且c>0，再利用OA=OC可得A(﹣c，0)，然后把A(﹣c，0)代入y=ax2+bx+c即可得到a、b、c的关系式.
【解答】解：当x=0时，y=ax2+bx+c=c，则C(0，c)(c>0)，
∵OA=OC，
∴A(﹣c，0)，
∴a(﹣c)2+b(﹣c)+c=0，
∴ac﹣b+1=0，
即ac+1=b.
故选A.
【点评】本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右.;抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.
10.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是( )
A. B. C. D.
【考点】二次函数的图象;一次函数的图象.
【分析】可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误.
【解答】解：A、由一次函数y=ax+b的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，错误;
B、由一次函数y=ax+b的图象可得：a>0，b>0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，对称轴x=﹣ <0，错误;
C、由一次函数y=ax+b的图象可得：a<0，b<0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，对称轴x=﹣ <0，正确.
D、由一次函数y=ax+b的图象可得：a<0，b<0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，错误;
故选C.
【点评】应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等.
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，满分16分)
11.如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y=﹣3x2，②y=﹣ ，③y=﹣x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是 ①③② (填序号)
【考点】二次函数的图象.
【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄.
【解答】解：①y=﹣3x2，
②y=﹣ x2，
③y=﹣x2中，二次项系数a分别为﹣3、﹣ 、﹣1，
∵|﹣3|>|﹣1|>|﹣ ，
∴抛物线②y=﹣ x2的开口最宽，抛物线①y=﹣3x2的开口最窄.
故答案为：①③②.
【点评】本题考查了二次函数的图象，抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄;|a|越小，抛物线的开口越宽.
12.已知二次函数y=﹣x2+4x﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，则△ABC的面积为 2 .
【考点】抛物线与x轴的交点.
【专题】计算题.
【分析】根据抛物线与x轴的交点问题，通过解方程﹣x2+4x﹣2=0得到A(2﹣ ，0)，B(2+ ，0)，再计算自变量为0时的函数值得到C点坐标，然后根据三角形面积公式计算.
【解答】解：当y=0时，﹣x2+4x﹣2=0，解得x1=2+ ，x2=2﹣ ，则A(2﹣ ，0)，B(2+ ，0)，所以AB=2+ ﹣(2﹣ )=2 ，
当x=0时，y=﹣x2+4x﹣2=﹣2，则C(0，﹣2)，
所以△ABC的面积= ×2 ×2=2 .
故答案2 .
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.