2018届衡水中学高考文科数学模拟试卷及答案
高考文科数学主要考察考生对基础知识的理解与掌握、基本解题技能的熟练与运用，所以我们应该通过多做文科数学模拟试卷来提升自己的熟练度，下面是小编为大家精心推荐的2018届衡水中学高考文科数学模拟试卷，希望能够对您有所帮助。
2018届衡水中学高考文科数学模拟试卷题目
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合M={x|y=ln(x2﹣3x﹣4)}，N={y|y=2x﹣1}，则M∩N等于( )
A.{x|x>4} B.{x|x>0} C.{x|x<﹣1} D.{x|x>4或x<﹣1}
2.复数 的共轭复数是( )
A.1+i B.1﹣i C.2i D.﹣2i
3.已知函数y=Asin(ωx+φ)+B的一部分图象如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|< ，则( )
A.A=4 B.ω=1 C.φ= D.B=4
4.平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心到O平面α的距离为( )
A. B. C.1 D.2
5.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=( )
A. B. C. D.
6.已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A.4+4π B.4+3π C.3+4π D.3+3π
7.抛掷两枚质地的骰子，得到的点数分别为a，b，那么直线bx+ay=1的斜率 的概率是( )
A. B. C. D.
8.已知函数y=f(x)的图象关于直线x=3对称，f(﹣1)=320且 ，则 的值为( )
A.240 B.260 C.320 D.﹣320
9.3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，也就是在圆内割正多边形，求的近似值，刘徽容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失唉，当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限近圆的面积，利用“割圆术”刘徽得到圆周率精确到小数点后两位的计算值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n值为(参考数据：sin15°=0.259)( )
A.6 B.12 C.24 D.48
10.已知函数f(x)= ，若关于x的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞，0) B.(﹣∞，0)∪(0，1) C.(0，1) D.(0，1)∪(1，+∞)
11.双曲线 ﹣ =1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A、B，渐近线分别为l1、l2，点P在第一象限内且在l1上，若PA⊥l2，PB∥l2，则该双曲线的离心率为( )
A. B.2 C. D.
12.已知函数g(x)= x3+2x﹣m+ (m>0)是[1，+∞)上的增函数.当实数m取最大值时，若存在点Q，使得过点Q的直线与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，则点Q的坐标为( )
A.(0，﹣3) B.(2，﹣3) C.(0，0) D.(0，3)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..
13.已知向量 ，则 = .
14.若变量x，y满足 ，则点P(x，y)表示的区域的面积为 .
15.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2﹣b2=c，且sin Acos B=2cosAsinB，则c= .
16.某公司在进行人才招聘时，由甲乙丙丁戊5人入围，从学历看，这5人中2人为硕士，3人为博士：从年龄看，这5人中有3人小于30岁，2人大于30岁，已知甲丙属于相同的年龄段，而丁戊属于不同的年龄段，乙戊的学位相同，丙丁的学位不同，最后，只有一位年龄大于30岁的硕士应聘成功，据此，可以推出应聘成功者是 .
三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.已知正项等比数列{bn}(n∈N+)中，公比q>1，b3+b5=40，b3b5=256，an=log2bn+2.
(1)求证：数列{an}是等差数列;
(2)若cn= ，求数列{cn}的前n项和Sn.
18.某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下
等级 1 2 3 4 5
频率 0.05 m 0.15 0.35 n
(1)在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n;
(2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率.
19.如图，菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，点H是线段EF的中点.
(1)求证：FD∥平面AHC;
(2)求多面体ABCDEF的体积.
20.已知a为常数，函数f(x)=x2+ax﹣lnx，g(x)=ex(其中e是自然数对数的底数).
(1)过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线，设切点P(x0，y0)为，求x0的值;
(2)令 ，若函数F(x)在区间(0，1]上是单调函数，求a的取值范围.
21.已知椭圆C1： + =1的离心率为e= 且与双曲线C2： ﹣ =1有共同焦点.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)在椭圆C1落在第一象限的图象上任取一点作C1的切线l，求l与坐标轴围成的三角形的面积的最小值;
(3)设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若C点满足 ⊥ ， ∥ ，连结AC交DE于点P，求证：PD=PE.
请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上.[选修4-4坐标系与参数方程]
22.已知曲线C的参数方程为 (θ为参数)在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换 得到曲线C′.
(1)求曲线C′的普通方程.
(2)若点A在曲线C′上，点B(3，0).当点A在曲线C′上运动时，求AB中点P的运动轨迹方程.
[选修4-5不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|x﹣a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值;
(2)在(1)的条件下，若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.
2018届衡水中学高考文科数学模拟试卷答案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合M={x|y=ln(x2﹣3x﹣4)}，N={y|y=2x﹣1}，则M∩N等于( )
A.{x|x>4} B.{x|x>0} C.{x|x<﹣1} D.{x|x>4或x<﹣1}
【考点】交集及其运算.
【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可.
【解答】解：由M中x2﹣3x﹣4>0，即M={x|x>4或x<﹣1}，
N={y|y=2x﹣1}={y|y>0}，
则M∩N={x|x>4}，
故选：A.
2.复数 的共轭复数是( )
A.1+i B.1﹣i C.2i D.﹣2i
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案.
【解答】解： = ，
则复数 的共轭复数是：﹣2i.
故选：D.
3.已知函数y=Asin(ωx+φ)+B的一部分图象如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|< ，则( )
A.A=4 B.ω=1 C.φ= D.B=4
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中 ﹣ 求得函数的周期，求得ω，最后根据x= 时取最大值，求得φ.
【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得 求得A=2，B=2
函数的周期为( ﹣ )×4=π，即π= ，ω=2
当x= 时取最大值，即sin(2× +φ)=1，2× +φ=2kπ+
φ=2kπ﹣
∵
∴φ=
故选C.
4.平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心到O平面α的距离为( )
A. B. C.1 D.2
【考点】球的体积和表面积.
【分析】先求截面圆的半径，然后求出球心到截面的距离.
【解答】解：∵截面圆的面积为π，
∴截面圆的半径是1，
∵球O半径为2，
∴球心到截面的距离为 .
故选：A
5.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=( )
A. B. C. D.
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知 ，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率.
【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2
直线y=k(x+2)(k>0)恒过定点P(﹣2，0)
如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，
点B为AP的中点、连接OB，
则 ，
∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，
故点B的坐标为 ，
故选D
6.已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A.4+4π B.4+3π C.3+4π D.3+3π
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由三视图知该几何体是上半部分是直径为1的球，下半部分是底面半径为1，高为2的圆柱体的一半，由此能求出该几何体的表面积.
【解答】解：由三视图知该几何体是上半部分是直径为1的球，
其表面积为S1= =π，
下半部分是底面半径为1，高为2的圆柱体的一半，
其表面积为S2= =4+3π，
∴该几何体的表面积S=S1+S2=4+4π.
故选：A.
7.抛掷两枚质地的骰子，得到的点数分别为a，b，那么直线bx+ay=1的斜率 的概率是( )
A. B. C. D.
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【分析】先求出基本事件总数n=6×6=36，由直线bx+ay=1的斜率 ，得到 ，利用列举法求出满足题意的(a，b)可能的取值，由此能求出直线bx+ay=1的斜率 的概率.
【解答】解：抛掷两枚质地的骰子，得到的点数分别为a，b，
基本事件总数n=6×6=36，
∵直线bx+ay=1的斜率 ，∴ ，
满足题意的(a，b)可能的取值有：
(3，1)，(4，1)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)，共6种，
∴直线bx+ay=1的斜率 的概率p= = .
故选：B.
8.已知函数y=f(x)的图象关于直线x=3对称，f(﹣1)=320且 ，则 的值为( )
A.240 B.260 C.320 D.﹣320
【考点】三角函数中的恒等变换应用.
【分析】把cosx﹣sinx提取 ，利用两角和的余弦函数公式的逆运算化为一个角的余弦函数，即可求得cos(x+ )的值，然后利用诱导公式求出sin2x的值，进而求得等于f(7)，根据f(x)的图象关于直线x=3对称，得到f(3+x)=f(3﹣x)，即可推出f(7)=f(﹣1)可求出值.
【解答】解：∵ ，∴ cos(x+ )= ，得cos(x+ )= ，
又∵sin2x=﹣cos( +2x)=1﹣2cos2(x+ )=
∴ =f(7)
由题意y=f(x)关于直线x=3对称
∴f(3+x)=y=f(3﹣x)
即f(7)=f(3+4)=f(3﹣4)=f(﹣1)=320，
故选C.
9.3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，也就是在圆内割正多边形，求的近似值，刘徽容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失唉，当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限近圆的面积，利用“割圆术”刘徽得到圆周率精确到小数点后两位的计算值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n值为(参考数据：sin15°=0.259)( )
A.6 B.12 C.24 D.48
【考点】程序框图.
【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案.
【解答】解：第1次执行循环体后，S=3cos30°= <3.14，不满足退出循环的条件，则n=6，
第2次执行循环体后，S=6cos60°= =3<3.14，不满足退出循环的条件，则n=12，
第3次执行循环体后，S=12sin15°≈3.106<3.14，不满足退出循环的条件，则n=24，
第4次执行循环体后，S=24sin7.5°≈3.144>3.14，满足退出循环的条件，
故输出的n值为24，
故选：C.
10.已知函数f(x)= ，若关于x的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞，0) B.(﹣∞，0)∪(0，1) C.(0，1) D.(0，1)∪(1，+∞)
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】利用换元法设f(x)=t，则方程等价为f(t)=0，根据指数函数和对数函数图象和性质求出t=1，利用数形结合进行求解即可.
【解答】解：令f(x)=t，则方程f[f(x)]=0等价为f(t)=0，
由选项知a≠0，
当a>0时，当x≤0，f(x)=a•2x>0，
当x>0时，由f(x)=log2x=0得x=1，
即t=1，作出f(x)的图象如图：
若a<0，则t=1与y=f(x)只有一个交点，恒满足条件，
若a>0，要使t=1与y=f(x)只有一个交点，
则只需要当x≤0，t=1与f(x)=a•2x，没有交点，
即此时f(x)=a•2x<1，
即f(0)<1，
即a•20<1，
解得0
综上0
即实数a的取值范围是(﹣∞，0)∪(0，1)，
故选：B.
11.双曲线 ﹣ =1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A、B，渐近线分别为l1、l2，点P在第一象限内且在l1上，若PA⊥l2，PB∥l2，则该双曲线的离心率为( )
A. B.2 C. D.
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】求出双曲线的顶点和渐近线方程，设P(m， m)，再由两直线垂直和平行的条件，得到m，a，b的关系式，消去m，可得a，b的关系，再由离心率公式计算即可得到.
【解答】解：双曲线 ﹣ =1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A(﹣a，0)、B(a，0)，
渐近线分别为l1：y= x，l2：y=﹣ x.
设P(m， m)，若PA⊥l2，PB∥l2，
则 =﹣1①，且 =﹣ ，②
由②可得m= ，
代入①可得b2=3a2，
即有c2﹣a2=3a2，即c=2a，
则有e= =2.
故选B.
12.已知函数g(x)= x3+2x﹣m+ (m>0)是[1，+∞)上的增函数.当实数m取最大值时，若存在点Q，使得过点Q的直线与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，则点Q的坐标为( )
A.(0，﹣3) B.(2，﹣3) C.(0，0) D.(0，3)
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;定积分.
【分析】求出函数的导数，利用导数研究函数的`单调性，求出m的最大值，结合过点Q的直线与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，判断函数的对称性进行求解即可.
【解答】解：由g(x)= x3+2x﹣m+ ，得g′(x)=x2+2﹣ .
∵g(x)是[1，+∞)上的增函数，∴g′(x)≥0在[1，+∞)上恒成立，即x2+2﹣ ≥0在[1，+∞)上恒成立.
设x2=t，∵x∈[1，+∞)，∴t∈[1，+∞)，即不等式t+2﹣ ≥0在[1，+∞)上恒成立.
设y=t+2﹣ ，t∈[1，+∞)，
∵y′=1+ >0，
∴函数y=t+2﹣ 在[1，+∞)上单调递增，因此ymin=3﹣m.
∵ymin≥0，∴3﹣m≥0，即m≤3.又m>0，故0
故得g(x)= x3+2x﹣3+ ，x∈(﹣∞，0)∪(0，+∞).
将函数g(x)的图象向上平移3个长度单位，所得图象相应的函数解析式为φ(x)= x3+2x+ ，x∈(﹣∞，0)∪(0，+∞).
由于φ(﹣x)=﹣φ(x)，
∴φ(x)为奇函数，
故φ(x)的图象关于坐标原点成中心对称.
由此即得函数g(x)的图象关于点Q(0，﹣3)成中心对称.
这表明存在点Q(0，﹣3)，使得过点Q的直线若能与函数g(x)的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等.
故选：A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..
13.已知向量 ，则 = 2 .
【考点】平面向量的坐标运算.
【分析】利用向量的坐标运算性质、数量积运算性质即可得出.
【解答】解： ﹣2 =(﹣1，3)，
∴ =﹣1+3=2.
故答案为：2.
14.若变量x，y满足 ，则点P(x，y)表示的区域的面积为 4 .
【考点】简单线性规划.
【分析】画出约束条件的可行域，求出点的坐标，然后求解区域的面积即可.
【解答】解：变量x，y满足 表示的可行域如图：
则点P(x，y)表示的区域的面积为： .
故答案为：4.
15.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2﹣b2=c，且sin Acos B=2cosAsinB，则c= 3 .
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】利用正弦定理、余弦定理，化简sinAcosB=2cosAsinB，结合a2﹣b2=c，即可求c.
【解答】解：由sinAcosB=2cosAsinB得 • =2• • ，
所以a2+c2﹣b2=2(b2+c2﹣a2)，即a2﹣b2= ，
又a2﹣b2=c，解得c=3.
故答案为：3.
16.某公司在进行人才招聘时，由甲乙丙丁戊5人入围，从学历看，这5人中2人为硕士，3人为博士：从年龄看，这5人中有3人小于30岁，2人大于30岁，已知甲丙属于相同的年龄段，而丁戊属于不同的年龄段，乙戊的学位相同，丙丁的学位不同，最后，只有一位年龄大于30岁的硕士应聘成功，据此，可以推出应聘成功者是 丁 .
【考点】进行简单的合情推理.
【分析】通过推理判断出年龄以及学历情况，然后推出结果.
【解答】解：由题意可得，2人为硕士，3人为博士;
有3人小于30岁，2人大于30岁;
又甲丙属于相同的年龄段，而丁戊属于不同的年龄段，
可推得甲丙小于30岁，故甲丙不能应聘成功;
又乙戊的学位相同，丙丁的学位不同，
以及2人为硕士，3人为博士，
可得乙戊为博士，故乙戊也不能应聘成功.
所以只有丁能应聘成功.
故答案为：丁.
三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.已知正项等比数列{bn}(n∈N+)中，公比q>1，b3+b5=40，b3b5=256，an=log2bn+2.
(1)求证：数列{an}是等差数列;
(2)若cn= ，求数列{cn}的前n项和Sn.
【考点】数列的求和;等差关系的确定.
【分析】(1)通过b3+b5=40，b3b5=256解得q=2，进而可得结论;
(2)通过对cn= 分离分母，并项相加即可.
【解答】(1)证明：由题可知设数列首项b1>0，
∵b3+b5=40，b3b5=256，
∴ ，
解得q=2或q= (舍)，
又∵b3+b5=40，即 =40，
∴b1= = =2，
∴bn=2×2(n﹣1)=2n，
∴an=log2bn+2=n+2，
∴数列{an}是以3为首项、1为公差的等差数列;
(2)解：∵cn= = ﹣ ，
∴Sn= ﹣ + ﹣ …+ ﹣ = ﹣ = .
18.某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下
等级 1 2 3 4 5
频率 0.05 m 0.15 0.35 n
(1)在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n;
(2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率.
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;收集数据的方法.
【分析】(1)通过频率分布表得推出m+n=0.45.利用等级系数为5的恰有2件，求出n，然后求出m.
(2)根据条件列出满足条件所有的基本事件总数，“从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件，等级系数相等”的事件数，求解即可.
【解答】解：(1)由频率分布表得 0.05+m+0.15+0.35+n=1，
即 m+n=0.45.…
由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，
得 .…
所以m=0.45﹣0.1=0.35.…
(2)：由(1)得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3;等级为5的零件有2个，
记作y1，y2.从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)
共计10种.…
记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”.
则A包含的基本事件为(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)共4个.…
故所求概率为 .…
19.如图，菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，点H是线段EF的中点.
(1)求证：FD∥平面AHC;
(2)求多面体ABCDEF的体积.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.
【分析】(1)由∠BAD=∠CDA=90°，可得AB∥CD，再由四边形ABEF为菱形，可得AB∥EF，得到EF∥CD.结合H是EF的中点，AB=2CD，得CD=FH，可得四边形CDFH为平行四边形，从而得到DF∥CH.再由线面平行的判定可得FD∥平面AHC;
(2)由平面ABEF⊥平面ABCD，DA⊥AB，可得DA⊥平面ABEF，结合已知可得四棱锥C﹣ABEF的高DA=2，三棱锥F﹣ADC的高AH= .然后由VABCDEF=VC﹣ABEF+VF﹣ADC求得多面体ABCDEF的体积.
【解答】(1)证明：∵∠BAD=∠CDA=90°，∴AB∥CD，
∵四边形ABEF为菱形，∴AB∥EF，则EF∥CD.
∵H是EF的中点，AB=2CD，∴CD=FH，
∴四边形CDFH为平行四边形，则DF∥CH.
∵DF⊄平面AHC，HC⊂平面AHC，
∴FD∥平面AHC;
(2)解：∵平面ABEF⊥平面ABCD，DA⊥AB，
∴DA⊥平面ABEF，
∵DC∥AB，∴四棱锥C﹣ABEF的高DA=2，
∵∠ABE=60°，四边形ABEF为边长是4的菱形，
∴可求三棱锥F﹣ADC的高AH=2 .
∴VABCDEF=VC﹣ABEF+VF﹣ADC= = .
20.已知a为常数，函数f(x)=x2+ax﹣lnx，g(x)=ex(其中e是自然数对数的底数).
(1)过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线，设切点P(x0，y0)为，求x0的值;
(2)令 ，若函数F(x)在区间(0，1]上是单调函数，求a的取值范围.
【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(1)先对函数求导，f′(x)=2x+a﹣ ，可得切线的斜率k=2x0+a﹣ = = ，即x02+lnx0﹣1=0，由x0=1是方程的解，且y=x2+lnx﹣1在(0，+∞)上是增函数，可证
(2)由F(x)= = ，求出函数F(x)的导数，通过研究2﹣a的正负可判断h(x)的单调性，进而可得函数F(x)的单调性，可求a的范围.
【解答】解：(1)f′(x)=2x+a﹣ (x>0)，
过切点P(x0，y0)的切线的斜率k=2x0+a﹣ = = ，
整理得x02+lnx0﹣1=0，
显然，x0=1是这个方程的解，又因为y=x2+lnx﹣1在(0，+∞)上是增函数，
所以方程x2+lnx﹣1=0有唯一实数解.故x0=1;
(2)F(x)= = ，F′(x)= ，
设h(x)=﹣x2+(2﹣a)x+a﹣ +lnx，则h′(x)=﹣2x+ + +2﹣a，
易知h'(x)在(0，1]上是减函数，从而h'(x)≥h'(1)=2﹣a;
①当2﹣a≥0，即a≤2时，h'(x)≥0，h(x)在区间(0，1)上是增函数.
∵h(1)=0，∴h(x)≤0在(0，1]上恒成立，即F'(x)≤0在(0，1]上恒成立.
∴F(x)在区间(0，1]上是减函数.
所以，a≤2满足题意;
②当2﹣a<0，即a>2时，设函数h'(x)的唯一零点为x0，
则h(x)在(0，x0)上递增，在(x0，1)上递减;
又∵h(1)=0，∴h(x0)>0.
又∵h(e﹣a)=﹣e﹣2a+(2﹣a)e﹣a+a﹣ea+lne﹣a<0，
∴h(x)在(0，1)内有唯一一个零点x'，
当x∈(0，x')时，h(x)<0，当x∈(x'，1)时，h(x)>0.
从而F(x)在(0，x')递减，在(x'，1)递增，
与在区间(0，1]上是单调函数矛盾.
∴a>2不合题意.
综合①②得，a≤2.
21.已知椭圆C1： + =1的离心率为e= 且与双曲线C2： ﹣ =1有共同焦点.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)在椭圆C1落在第一象限的图象上任取一点作C1的切线l，求l与坐标轴围成的三角形的面积的最小值;
(3)设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若C点满足 ⊥ ， ∥ ，连结AC交DE于点P，求证：PD=PE.
【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质.
【分析】(1)由椭圆的离心率e= ，得到a2=4b2，再结合椭圆与双曲线有共同的交点及隐含条件解得a2，4b2，则椭圆的方程可求;
(2)由题意设出切线方程y=kx+m(k<0)，和椭圆方程联立后由方程仅有一个实根得到方程的判别式等于0，即得到k与m的关系，求出直线在x轴和y轴上的截距，代入三角形的面积公式后化为含有k的代数式，然后利用基本不等式求最值;
(3)求出A，B的坐标，设出D，E，C的坐标，结合条件 ⊥ ， ∥ 可得D，E，C的坐标的关系，把AC，
DE的方程都用D点的坐标表示，求解交点P的坐标，由坐标可得P为DE的中点.
【解答】(1)解：由e= ，可得： ，即 ，
∴ ，a2=4b2①
又∵c2=2b2+1，即a2﹣b2=2b2+1 ②
联立①②解得：a2=4，b2=1，
∴椭圆C1的方程为： ;
(2)解：∵l与椭圆C1相切于第一象限内的一点，
∴直线l的斜率必存在且为负，
设直线l的方程为：y=kx+m(k<0)，
联立 ，消去y整理可得：
③
根据题意可得方程③只有一实根，
∴△= ，
整理可得：m2=4k2+1 ④
∵直线l与两坐标轴的交点分别为 且k<0，
∴l与坐标轴围成的三角形的面积 ⑤
④代入⑤可得： (当且仅当k=﹣ 时取等号);
(3)证明：由(1)得A(﹣2，0)，B(2，0)，
设D(x0，y0)，∴E(x0，0)，
∵ ，
∴可设C(2，y1)，
∴ ，
由 可得：(x0+2)y1=2y0，即 ，
∴直线AC的方程为： ，整理得： ，
点P在DE上，令x=x0代入直线AC的方程可得： ，
即点P的坐标为 ，
∴P为DE的中点
∴PD=DE.
请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上.[选修4-4坐标系与参数方程]
22.已知曲线C的参数方程为 (θ为参数)在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换 得到曲线C′.
(1)求曲线C′的普通方程.
(2)若点A在曲线C′上，点B(3，0).当点A在曲线C′上运动时，求AB中点P的运动轨迹方程.
【考点】参数方程化成普通方程.
【分析】(1)利用坐标转移，代入参数方程，消去参数即可求曲线C′的普通方程;
(2)设P(x，y)，A(x0，y0)，点A在曲线C′上，点B(3，0)，点A在曲线C′上，列出方程组，即可求AB中点P的轨迹方程.
【解答】解：(1)将 代入 ，得C'的参数方程为
∴曲线C'的普通方程为x2+y2=1. …
(2)设P(x，y)，A(x0，y0)，又B(3，0)，且AB中点为P
∴有：
又点A在曲线C'上，∴代入C'的普通方程得(2x﹣3)2+(2y)2=1
∴动点P的轨迹方程为(x﹣ )2+y2= . …
[选修4-5不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|x﹣a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值;
(2)在(1)的条件下，若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.
【考点】绝对值不等式的解法;函数恒成立问题.
【分析】(1)不等式f(x)≤3就是|x﹣a|≤3，求出它的解集，与{x|﹣1≤x≤5}相同，求实数a的值;
(2)在(1)的条件下，f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立，根据f(x)+f(x+5)的最小值≥m，可求实数m的取值范围.
【解答】解：(1)由f(x)≤3得|x﹣a|≤3，
解得a﹣3≤x≤a+3.
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，
所以 解得a=2.
(2)当a=2时，f(x)=|x﹣2|.
设g(x)=f(x)+f(x+5)，
于是
所以当x<﹣3时，g(x)>5;
当﹣3≤x≤2时，g(x)=5;
当x>2时，g(x)>5.
综上可得，g(x)的最小值为5.
从而，若f(x)+f(x+5)≥m
即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(﹣∞，5].
【届衡水中学高考文科数学模拟试卷及答案】相关文章：