扩张原理可视为变换另一表示，推论凸集的截集必为区间截集为区间的集必为凸集，定理设是实数域上的二元运算则，问最可能完成这一工程任务的时间解，花色式样耐穿程度价格费用第二步确定评语集。
模糊数学讲稿7
第六章 扩张原理与F数
TRF(X)F(Y)，TR换成其它函数能否将X上的F模糊集变成Y上的F集。
一、普通扩张原理
1．给定映射
f:XY
x|yf(x)
则f可以诱导两个新映射，分别记作f和f1，
f:P(X)P(Y)
A|f(A)B{y|xA,yf(x)
f1:P(Y)P(X)
1
B|f
f(A)称为A的像，f
2．用特征函数表示 1(B){x|f(x)B}(B)为B的逆(原)像。
f(A)(y)f(x)y0,fA(x)A(x),ff(x)y11(y)(y)
f1(B)(x)B(f(x))
3．性质
P393-394，性质①至⑩，如：
B1B2f1(B1)f1(B2)；
f(A1A2)f(A1)f(A2)
f1(B1B2)f1(B1)f1(B2)；
f1(f(A))A
……
a,x0,1,2
例1 设X{0,1,2,3,4,5}，Y{a,b,c,d}；f(x)b,x3,4；A{2,3,4}, B{b,c,d}。求f(A),f
c,x5
解：f(A){a,b}P(Y)1(B)
f1(B){3,4,5}P(X)
二、模糊扩张原理
1．定义1 (扩张原理1)设f:XY，由f可以诱导出两个映射f和f1：
f:F(X)F(Y)
A|f(A)F(Y) f1:F(Y)F(X)1B|f(B)F(X)
其中： A(x), ff(x)yf(A)(y)
0, f
11(y)(y)；f11(B)(x)B(f(x)) f(A)称为A的像，f(B)为B的像。
a,x0,1,2
10.20.10.90.40.90.3例1设X{0,1,2,3,4,5},Y{a,b,c,d}；f(x)b,x3,4；A , B0245bcdc,x5求f(A),f1(B)
f(A)(a)
解：f(x)aA(x) max{A(0),A(1),A(2)}
1
同理
f(A)(b)0.1
f(A)(c)0.7
f(A)(d)0
f1(B)(0)B(f(0))B(a)0
f
同理 f11(B)(3)f1(B)(4)(B)(1)f1(B)(2)0B(b)
0.4f1(B)(5)B(c)0.9
所以： f(A)1
a0.1
b0.7
c f1(B)0.4
30.4
40.9
5
(0, 0, 0, 0.4, 0.4, 0.9)
2．扩张原理可视为F变换（另一表示）
（1）f:XY
确定X到Y的F关系R：R(x,y)1,yf(x)
0,yf(x)
由R可确定X到Y的F变换f(A)AR
f(A)(y)[A(x)R(x,y)] xX
f(x)y(A(x)1)
f(x)yA(x)
1,yf(x)
0,yf(x)（2）同样，令S表示Y到X的F关系,S(y,x)
f1(B)BS
f1(B)(x)[B(y)S(y,x)] yY
f(x)y(B(y)1)
B(f(x))
3．性质
定理1 设f:XY,AF(X),BF(Y)，则0,1，有
f(A)f(A)；
f
f1(B)f1(B)； 1(B)f1(B)。
一般f(A)f(A)
证 仅证第二式
1xf1(B)f
(B)(x)
B(f(x)
f(x)B
xf即 f11(B) (B)f
1(B)
推论 设f:XY,AF(X),BF(Y)，则
f(A)[0,1)f(A)；
f
f1(B)(B)[0,1)ff1(B)(B)
； 11[0,1)。
这是扩张原理另一描述方法。
定理2 设f:XY,AF(X)，则0,1，f(A)f(A)yf(X),x0f证 充分性 yf(X) 1(y),s.t. f(A)(y)A(x0)
yf(A)f(A)(y)(
x0f1f(x)yA(x)) (y),s.t. A(x0)f(A)(y)
x0A,s.t. f(x0)y
yf(A)
所以f(A)f(A)
必要性 yf(X)，令f(A)(y)，那么yf(A)f(A) x0A, s.t. f(x0)y 从而A(x0)f(A)(y)f(x)yA(x)A(x0) 所以 f(A)(y)A(x0)
定理3 设f:XY, A,AF(X)，则
（1）f(A)A； '
（2）
（3）AAf(A)f(A)tTtT； ； f(At)f(At), AtF(X)，tT
（4）f(At)f(At), AtF(X)，tTtTtT。 证 仅证（3）若yf(X)，则
f(At)(y)0,
f(At)(y)0tT
若yf(X)，则 f(At)(y)tTf(x)ytT[At(x)]
(tT
tTf(x)yAt(x)) (f(At)(y))
(f(At))(y)tT
所以f(At)f(At)tTtT
'定理4 设f:XY,B,BF(Y)，则
（1）f1()
1（2）若f为满射，且f
（3）(B)，则B； BB，则f
f
f1tT1(B)f11(B)； （4）（5）(BtftT(Bt)； 1(BtftTtT
11(Bt)； （6）(f1(B))fc(B)。 c
定理5（扩张原理等价定义）
f:F(X)F(Y)
A|f(A)f(A)0,1f ；1:F(Y)F(X)1 B|f(B)f0,11(B)
三、二（多）元扩张原理
1．定义1 设A1F(X1),A2F(X2)，则称映射：
X:F(X1)F(X2)F(X1X2)
(A1,A2)|X[(A1,A2)]A1A2F(X1X2)
为直积映射。其中
X[(A1,A2)](x1,x2)A1(x1)A(x2)
2
=Ai(xi)i1
定义2（二元扩张原理）设
f:X1X2Y
(x1,x2)|f(x1,x2)yY
则称映射f
f:F(X1)F(X2)F(Y)
(A1,A2)|f(A1,A2)F(Y)
为由f诱导出的映射，隶属函数为：
f(A1,A2)(y)
0, f1(y) 21[Ai(xi)],(x1,x2)f(y)f(x1,x2)yi1
例1 设XZ0,1,2,,f:ZZZ是普通加法
记A1“近似于1” http://www.oh100.com ；
记A2“近似于2” http://www.oh100.com
f(x1,x2)x1x2 （原来Z上的加法）
f(A1,A2)A1A2（F(Z)上的加法）
根据扩张原理，有 (A1A2)(x)x1x2x(A1(x1)A2(x2))
或 (12)(x)x1x2x(1(x1)2(x2))
（仅需考虑A1(x1),A2(x2)均不为0的x1, x2对应的x）x可取1,2,3,4,5。 (12)(1)(1(0)2(1))011 (0.10.2)0.1
(12)(2)
x1x22
(1(x1)2(x2))
[1(0)2(2)][1(1)2(1)]
[0.10.8][0.90.2]0.2
(12)(3)[1(0)2(3)][1(1)2(2)]
[1(2)2(1)]0.8
(12)(4)[1(1)2(3)][1(2)2(2)]0.2
(12)(5)1(2)2(3)]0.10.20.1
http://www.oh100.com
2．定理 设XX1X2,AiF(Xi),i1,2
因此
f:X1X2Y，则0,1
2
f(A1,A2)
f[(A1),(A2)]yY,(x1,x2)f
1
(y)，使
f(A1,A2)(y)Ai(xi)
i1证 必要性 设f(A1,A2)(y)，则得yf[(A1),(A2)]
因此，xi(Ai)，i1,2，使yf(x1,x2) 因而
2
2
f(x1,x2)yi1
Ai(xi)
i1(Ai(xi))
f(A1,A2)(y)
2
所以
f(A1,A2)(y)Ai(xi)
i1充分性 0,1，yY，yf(A1,A2)f(A1,A2)(y)
2
(x1,x2)f
1
(y)，且
i1Ai(xi)
f(x1,x2)y,x1(A1),x2(A2) y(f(A1),f(A2))
扩展原理可以将实数的代数运算扩展到实数域上的F数的代数运算。
四、凸F集
1．普通凸集
A为凸集x,yA,0,1，zx(1)yA
2．凸F集
定义1 设R是实数域，AF(R)，若x1,x2,x3R，且x1x2x3，均有A(x2)A(x1)A(x3)则称A是凸F集。 回忆高等数学中凸函数概念
f(x)在[a,b]上是凸函数x1,x2[a,b]
f[x1(1)x2]f(x1)(1)f(x2)
f[x1(1)x2]f(x1)(1)f(x2)f(x1x2
2
)
12f(x1)
12f(x2)f(x1)f(x2)
0ex
例1 设AF(R)，A(x)
x0x0
x1xx2
（1）若x10，则A(x)0A(x1)A(x2) （2）若x10，因e
x
是减函数，故有e
x1e
x
e
x2因此A(x)A(x1)A(x2)，所以，A为凸F集。 （事实上：任何单调函数都是凸F集） 3．相关定理
定理1 若A是凸函数，则A为凸F集。
证明： x1,x2,x3R，且x1x2x3，则存在[0,1],s.t. x2x1(1)x3
因为A是凸函数，所以有：
A(x2)A[x1(1)x3]A(x1)(1)A(x3)
[A(x1)A(x3](1)[A(x1)A(x3)][A(x1)A(x3]
即，A为凸F集。
定理2 A为凸F集0,1，A 为凸集。 证 必要性
0,1，x1,x2A，即A(x1),A(x2)
不妨设x1x2，则x3x1,x2，由A为凸F集得 A(x3)A(x1)A(x2) 所以x3A，故A为凸集。
充分性 x1,x2R，取A(x1)A(x2)则x1A,x2A
x3x1,x2，因A为凸集，故x3A，即A(x3)A(x1)A(x2)
所以，A为凸F集。
推论 凸F集的截集必为区间，截集为区间的F集必为凸F集。 定理3 若A，B是凸F集，则AB也是凸F集。 证 （自己证）
五、F数
1．定义1设AF(R)，且满足：
（1）x0R, s.t. A(x0)1 （正规F集） （2）0,1，Aa,b为闭区间，
为全体F数集合。 则称A为一个F实数，简称F数。记R且A为单点集，即A注：①AR11
（实数，A(x)
a则称A为严格F数；
1,xa0,xa
）②若取离散实数论域S，只要求A为闭凸集（！）。
例如：S{0,1,2,3,4,5,6}
A
0.10
0.31
0.32
0.73
140.65
0.26
且suppAA{x|A(x)0}有界，则称A为有限F数； ③若AR0且(0,1],A有界，则称A为有界F数； ④若AR
⑤suppA所含都是正实数，则称A为正F数； ⑥suppA所含都是负实数，则称A为负F数； ⑦F数是F凸集。
a1x,axa
a1x, axa 例1 设A为三角F集，A(x)
0,其它
（0，1],A[a(1),a(1）]
由于1时，A1
a，所以A是严格F数。
当a0时，A为负F数；当a0时，A为正F数。 2．有关定理
1,axb
定理1 A为有界F数的充分必要条件是存在区间a,b使得A(x)L(x),xa
R(x),xb
其中：L(x)为增函数，右连续，0L(x)1，且 R(x)为减函数，左连续，0R(x)1，且
证 必要性
因为A正规，所以A的核kerA，即存在[a,b]，使x[a,b],A(x)1;x[a,b],A(x)1
x
limL(x)0 limR(x)0
x
x1x2a，由于F数是凸的，因此有A(x2)A(x1)A(a)A(x1)
所以，当xa时，令L(x)A(x)为增函数。 因xa时，0A(x)1，故0L(x)1。
现证明L(x)右连续。用反证法……
定理2 设是实数域R上的二元运算，A,BR，则
~
ABRx1x2x
(A(x1)B(x2))/x
或(AB)(x)
：,,,,,
x1x2x
(A(x1)B(x2))
(AB)(x)
(AB)(x)
例2 设 2
x1x2x
[A(x1)B(x2)]
[A(x1)B(x2)]
x1x2x
0.41
120.7
0.510.6
计算 23,23,23 3
3； 234；
解 仅计算23
（1）隶属函数不为0的元素有：2，3，4，6，8，9，12 （2）逐点计算
如：
(23)(6)[2(x1)3(x2)]x1x26
[2(2)3(3)][2(3)3(2)]
[11][0.70.5]1
(23)(8)[2(x1)3(x2)]
xx261
[2(2)3(4)]
[10.6]
0.6
最后得
0.40.40.510.60.70.6
23 23468912
六、区间数
，且A(x)1．定义1设AR
2．运算
（1）加法
1, x[a,b]0, x[a,b]
，则称A为区间数，记为[a,b]。
[a,b][c,d][ac,bd]
（2）减法
[a,b][c,d][ad,bc]
（3）乘法
[a,b][c,d][p,q]
其中：pmin{ac,bc,ad,bd}（4）除法
当qmax{ac,bc,ad,bd}
[c,d]
中不含0时，
1[c,d]
[
11,],0[c,d]dc
[a,b][c,d][a,b][
11,],0[c,d] dc
例1 [2,3][1,5][2,3][3．性质
112
,][,3] 515
定理1 设f:RRR,Ai(i1,2)为有界F数，则(0,1]，[f(A1,A2)]f[(A1),(A2)] 定理2 设I,J是两个有界F数，0，则(0,1]，有：
（1）(IJ)IJ； （2）(IJ)IJ； （3）(IJ)IJ； （4）(IJ)IJ； （5）(I)I
例2 假如某一工程任务可分为两个阶段：第一阶段大约6~8天可完成，其完成任务的可能性分布为F数。
I
0.860.39
171
0.28
第二阶段大约9~12天可完成，用F数表示为
J
100.911
0.412
问最可能完成这一工程任务的时间？ 解：
(IJ)
0.315
0.816
117
0.918
0.419
0.220
取0.8，由定理2，有
(IJ)0.8I0.8J0.8
即[16,18][6,7][10,11]
完成这一任务最可能的时间是16~18。
练习：P192~194
1，2，4，6，7（2）（4）（6），9，11，15，16。
模糊数学讲稿6 (1)
第五章 F映射与综合评判
一、F 映 射
1．概念
定义1 称映射
f:XF(Y)
x|f(x)BF(Y)
是从X到Y的F映射。
例1 设X[0,3]（单位：米）是身高论域
x|f(x)?
Y[0,200]（单位：公斤）为体重论域。
例2 设Xx1,x2,x3,Yy1,y2,y3,y4，RF(XY)，且
0.50.20.30R0.410.30.1 00.20.70
令0.50.20.3u1f(u1)v1v2v3
0.410.30.1u2f(u2)v1v2v3v4
0.20.7u3f(u3)v2v3
则，f是从X到YF映射。
定义2 设RF(XY)，任意xX，对应着Y上的一个F集，记作R|x，它具有隶属函数
R|x(y)R(x,y),yY
称R|x为R在x处的截影。
同样，称R|y为R在y处的截影，其中
R|y(x)R(x,y),xX
2．F关系与F映射
（1）任给RF(XY)，R可以确定F映射fR
fR:XF(Y)
x|fR(x)R|xF(Y)
fR(x)(y)R(x,y)
（2）任给f:XF(Y)，可以确定F关系RfF(XY)，
Rf(x,y)(f(x)(y)
XY 上F关系与X到Y的F映射之间有一一对应关系，有时可以写成：
RRffRf
例3 在例2中
R|x1(0.5, 0.2, 0.3, 0)
R|x2(0.4, 1, 0.3, 0.1)
R|x3(0, 0.2, 0.7, 0)
这也是由R确定的fR，如：
fR(x2)F(Y)
fR(x2)R|x2(0.4, 1, 0.3, 0.1)
例4 设f:XF(Y)，且
f(x)(y)e(xy)2,xX,yY
求由f确定F关系RF(XY)，并求R|x，R|x2。
解 xX，R|xf(x),即
(xy)2R|x(y)f(x)(y)e, xX,yY
也即，F关系
R(x,y)e(xy)2,(x,y)XY 下面再求R|x和R|x2
R|x(y)R(x,y)e(xy)2,yY
,yY R|x2(y)R(2,y)e(2y)2
显然，fRR|xf。
二、F变换
1．定义1 称映射
T:F(X)F(Y)
A|T(A)BF(Y)
为从X到Y的一个F变换。称B是A在F变换下的象，而A是B的原象。
X{x1,x2,,xm}，
Y{y1,y2,,yn}，
F变换T就是映射
T:1m1n
2．最常见的F变换
定理1 任给RF(XY)，由R可以确定
一个从X到Y的F变换，记作TR
TR:F(X)F(Y)
A|TR(A)ARF(Y) (AR)(y)(A(x)R(x,y)), yY xX
例5 设表示“男少年”，
X40,50,60,70,80(kg)
Y1.4,1.5,1.6,1.7,1.8(m)
分别为体重和身高论域。体重与身高的关系为：
10.8
R0.20.1
0010.80.20.10.810.80.2 0.20.810.80.10.20.810.80.20.1
A(0.8,1,0.6,0.2,0)是“男少年”在上的模糊集，则
BAR(0.8,1,0.8,0.6,0.2)F(Y)
是身高论域上的模糊集，即模糊关系R将“男少年”在体重论域上的模糊集（表示）变成了身高论域上的模糊集（表示）。
例6 设Xx1,x2,x3,Yy1,y2,y3,y4，
1010
R1001, RF(XY)0110
Ax0.50.10.3
1,x2,Bx
1x2x3
求：TR(A),TR(B)。
解 注意到A(1,1,0)，
101
TAR(1,1,0)
R(A)100
011
(1,0,1,1)00 1
1010TR(B)BR(0.5,0.1,0.3)10010110
(0.5,0.3,0.5,0.1)例7 设Xx1,x2,x3,Yy1,y2,y3,y4，
0.21
R0.50
0.10.30.9100.410.1Ax1,x2,B(0.5,0.1,0.3) 求：TR(A),TR(B)。 解 A(1,1,0)，
TAR(1,1,0)0.210.5R(A)0.10.30.9
00.41
(0.2,0.3,0.9,1)
TBR(0.5,0.1,0.3)0.210.5R(B)0.10.30.9
00.41
(0.2,0.5,0.5,0.1) 010.1010.1
普通关系导出普通集合变换，F关系导出的F变换并不保证将普通子集对应到普通子集。
定义2 设A,BF(X)，若F变换
T:F(X)F(Y)
满足
①T(AB)T(A)T(B)；
②T(A)T(A), 0,1
则称T是F线性变换。
定理2 设RF(XY),AF(X)，均有
T(A)AR
其中
(AR)(y)(A(x)R(x,y)),yY xX
则T是F线性变换。
定理3 设RF(XY)，T是由R导出
的F变换，则T满足
TA()TA()
()A其中：为指标集，F(X),0,1。
三、模糊综合评判
1．模糊综合评判模型及一般步骤 例7 服装评判
第一步：确定因素集
X={花色式样，耐穿程度，价格费用}第二步：确定评语集
Y ={很欢迎，比较欢迎，不太欢迎，不欢迎}
第三步：做单因素评判， 花色式样(0.7,0.2,0.1,0)； 耐穿程度(0.2,0.3,0.4,0.1)；
价格费用(0.3,0.4,0.2,0.1) 单因素评判组成评判矩阵
0.70.20.10R0.20.30.40.10.30.40.20.1 R是因素集到评语集的模糊关系。 第四步：确定权重
A(0.5, 0.3, 0.2) 第五步：利用R确定的模糊变换做综合评判，即评判结果为：
BAR
0.70.20.10(0.5,0.3,0.2)0.20.30.40.10.30.40.20.1
(0.5, 0.3, 0.3, 0.1)一般步骤：
① 确定因素集Xx1,,xn；
② 确定评语集Yy1,,ym；
③做单因素评价，进而得到各因素评价组成的评价矩阵R(rij)nmF(XY)； ④确定各因素权重 A(a1,a2,,an)，
ai1，ai0
i1n；
⑤做综合评判
BAR(b1,,bm)
⑥归一化
B
bmax'1bmax(b1,,bm) max{bi|i1,2,,m}
2．综合评判算子选取
(,)
(,)
3．结果排序
B(b1,,bm)
（1） 计算总分 ①jbj
b l
l1m
②对yj打分cj
③ 计算总分cjcj
l1m
④ 按总分排序
（2）按金牌数
（3）求和
…4．多级模型
一级模型中的困难：
①因素多，难定权重；
②权重太小，结果不准、难区分。 例8 高校整体水平评估
教学：师资，知名学者数量，图书资
料，…
科研：成果级别、数量，论文级别、
数量，经费总量，…
管理：管理理念，规章制度，服务意识，…
需要进行二（多）级综合评判。其模型如下：
模型
A1R1B1CABAA2R2AB2ARB 333
A1 是关于教学评价时各因素的权重，
R1是关于教学评价时的评价矩阵，B1是相应的评价结果。
A是教学、科研、管理三因素的权重。
类似地，可以考虑更多级的综合评判。
5．综合评判的逆问题 ARB
已知 已知未知
逆问题：
未知 已知已知
（1）J{A1,A2,,As}
（2）BiAiR, i1,2,,s
（3）N(Bi,B)max{N(Bj,B)| j1,2,,s}
则认为Ai是J中最佳权重。
例9 在服装评判的例子中，已知某种服装经顾客评价后，得
B(0.6,0.3,0.1,0)
及评判矩阵
0.70.20.10R0.20.30.40.10.30.40.20.1
四种可能的权重：
A1(0.2,0.5,0.3)
A2(0.4,0.3,0.3)
A3(0.2,0.3,0.5)
A4(0.5,0.2,0.3)
做出对应的B1,B2,B3,B4：
B1A1R(0.3,0.3,0.4,0.1)
B2A2R(0.3,0.3,0.3,0.1)
B3A3R(0.3,0.4,0.3,0.1)
B4A4R(0.5,0.3,0.2,0.1)
再求它们与B的贴近度。由公式
14N(B1,B)1B1(xi)B(xi)4i1 得
1N(B1,B)1(0.7)33/40 4
N(B2,B)34/40 N(B3,B)33/40 N(B4,B)37/40 按择近原则，与B4相应的A4就是佳权数分配方案。
练习：P156~159 1，2，4，6，8，13，14
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