高中数学弦切角定理的证明方法

　　弦切角是几何中的定理，那它们是怎么被证明的呢?证明的方法是怎样的呢?下面就是百分网小编给大家整理的弦切角定理证明方法内容，希望大家喜欢。

高中数学弦切角定理的证明方法

　　弦切角定理证明方法一

　　1)连OC、OA，则有OC⊥CD于点C。得OC‖AD，知∠OCA=∠CAD。

　　而∠OCA=∠OAC，得∠CAD=∠OAC。进而有∠OAC=∠BAC。

　　由此可知，0A与AB重合，即AB为⊙O的直径。

　　(2)连接BC，且作CE⊥AB于点E。立即可得△ABC为Rt△，且∠ACB=Rt∠。

　　由射影定理有AC²=AE*AB。又∠CAD=∠CAE，AC公用，∠CDA=∠CEA，得△CEA≌△CDA，有AD=AE，所以，AC²=AB*AD。

　　第一题重新证明如下：

　　首先证明弦切角定理，即有∠ACD=∠CBA 。

　　连接OA、OC、BC，则有

　　∠ACD+∠ACO=90°

　　=(1/2)(∠ACO+∠CAO+∠AOC)

　　=(1/2)(2∠ACO+∠AOC)

　　=∠ACO+(1/2)∠AOC,

　　所以∠ACD=(1/2)∠AOC，

　　而∠CBA=(1/2)∠AOC(同弧上的圆周角等于圆心角的一半)，

　　得∠ACD=∠CBA 。

　　另外，∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD=∠CAB，

　　所以有∠CAB+∠CBA=90°，得∠BCA=90°，进而AB为⊙O的直径。

　　弦切角定理证明方法二

　　证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。

　　∵∠TCB=90-∠OCB

　　∵∠BOC=180-2∠OCB

　　∴,∠BOC=2∠TCB(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)

　　∵∠BOC=2∠CAB(圆心角等于圆周角的两倍)

　　∴∠TCB=∠CAB(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)

　　证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.

　　求证：(弦切角定理)

　　证明：分三种情况：

　　(1)圆心O在∠BAC的.一边AC上

　　∵AC为直径，AB切⊙O于A，

　　∴弧CmA=弧CA

　　∵为半圆,

　　∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角 (2)圆心O在∠BAC的内部.

　　过A作直径AD交⊙O于D,

　　若在优弧m所对的劣弧上有一点E

　　那么，连接EC、ED、EA

　　则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

　　∴ ∠CEA=∠CAB

　　∴ (弦切角定理)

　　(3)圆心O在∠BAC的外部,

　　过A作直径AD交⊙O于D

　　那么 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

　　∴∠CDA=∠CAB

　　∴(弦切角定理)

　　弦切角定理证明方法三

　　若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

　　应用举例

　　例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60° , AB=a 求BC长.

　　解：连结OA，OB.

　　∵在Rt△ABC中, ∠C=90

　　∴∠BAC=30°

　　∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半)

　　例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.

　　求证：EF∥BC.

　　证明：连DF.

　　AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC

　　∠EFD=∠BAD

　　∠EFD=∠DAC

　　⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC

　　∠EFD=∠FDC

　　EF∥BC

　　例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，

　　求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.

　　证明：∵AB是⊙O直径

　　∴∠ACB=90

　　∵CD⊥AB

　　∴∠ACD=∠B，

　　∵MN切⊙O于C

　　∴∠MCA=∠B，

　　∴∠MCA=∠ACD，

　　即AC平分∠MCD，

　　同理：BC平分∠NCD.

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